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Mustererkennung

• betreffen mathematisch-technische Aspekte der Perzeption / Wahrnehmung anhand von Sensordaten
• => Simulation einer perzeptiven Leistung (ähnlich Mensch)
• automatische Transformation eines Sensorsignals in einer aufgabenspezifische Beschreibung
• => es wird  für ein physikalisches Signal (Sprache,Bild, Messwert, ...) eine geeignete Sympolkette (Datenstruktur) berechnet.
• Dabei unterteilt man in zwei Kategorien:
• Klassifikation einfacher Muster
• Analyse komplexer Muster

Beispiel:
Der Computer soll Sprache ähnlich zuverlässig erkennen wie ein Mensch...was aber nicht unbedingt auf dem gleichen Weg geschehen muss.

Umwelt (U)

• Gesamtheit der mit physikalischen Geräten messbaren Größen
• alle Funktionen, die die gesamte Umwelt erfassen

Problemkreis()

Ein Problemkreis enthält nur Objekte (Funktionen) eines bestimmten und begrenzten Anwendungsgebietes, die mit geeigneten Sensoren erfasst werden.



=> Menge von Mustern, die zu einer Anwendung gehören

Muster

• die Elemente der Menge U, die zu einem Problemkreis  gehören
• Muster heißen Funktionen
• dargestellt durch MxN Funktionen
• Funktionen können den zugeordneten Merkmalen entsprechen
• es gibt komplexe und einfache Muster

Ein Muster kann ein ganzes Bild sein oder z.B. aus mehreren Bilder bestehen (Schnittbilder in Exprimage)..

Beispiele:
Schnittbilder in Exprimage:
= (HE1, VIM, ER, PR, ... , Grading, Therapie, Verlauf, ...)

Farbbild aus TV als Muster (, = Zeitpunkt):

Klassen ()

Klassen sind Partitionen der Menge in k Teilmengen und sollten folgende Eigenschaften erfüllen:

• die Vereinigung aller Mengen ist
• keine Menge ist leer
• keine disjunkten Mengen (keine Eigenschaften/Muster doppelt in einer Klasse)
• Wenn die Merkmale des Musters bestimmte Eigenschaften haben werden sie einer Klasse zugeordnet.
• Muster einer Klasse sollten ähnlich untereinander und verschieden zu anderen Mustern anderer Klassen sein
• eine Definition von Ähnlichkeit (Abstandsmaß/Klassifikator) wird vorausgsetzt
• wenn ein Muster nicht zuverlässig klassifiziert werden kann => entfernen in Rückweisungsklasse oder Alternativen angeben (Mischklassen)

Einfache Muster:
Definition: Ein Muster wird als einfaches Muster bezeichnet, wenn den Anwender nur der Klassenname interessiert und es möglich ist, es als Ganzes genau einer Klasse zuzuweisen.

Bei einfachen Mustern spricht man von Klassifikation.
Beispiele:

• Farbbild aus TV
• einzelnes gesondertes Schriftzeichen
• isoliert gesprochenes Wort
• Gewebetyp
• ....

=> es ist nur der Klassenname von Interesse

Komplexe Muster
Definition: Ein Muster wird als komplexes Muster bezeichnet, wenn dem Anwender die Angabe eines Klassennamens nicht genügt oder wenn die Klassifikation als ganzes in eine Klasse nicht möglich ist.

Der Übergang zwischen einfachen Mustern und komplexen Mustern ist fließend.
Bei komplexen Mustern spricht man von Analyse der Muster. Es geht dabei meistens um komplexere Szenarien. Die Klassifikation als Ganzes in genau eine Klasse ist nicht möglich.

Beispiele:

• Exprimage: = (HE1, VIM, ER, PR, ... , Grading, Therapie, Verlauf, ...)
• Verkehrszenen
• Diagnostische Interpretation von Bildern
• ....

Klassifikationsaufgaben können sowohl bei einfachen als auch bei komplexen Mustern auftreten.

Klassifikation von einfachen Mustern:
Bei der Klassifikation von einfachen Mustern wird jedes Muster als ein ganzes betrachtet und unabhängig genau einer Klasse von k möglichen Klassen zugeordnet.
Das Muster kann auch in eine Klasse zurückgewiesen werden.

Beispiel: Klassifikation von einzelnen Schriftzeichen

Ein komplexes Muster (z.B. Exprimage => mehrere Daten zu einem bisher unverstandenen Krankheitsverlauf) kann in der Regel mehr als ein zu klassifizierendes Objekt enthalten.
Ein Muster muss im Kontext zu anderen Mustern klassifiziert werden ... => bei der Analyse komplexer Muster wird jedem Muster eine individuelle symbolische Beschreibung zugeordnet.
Das Muster wird aufgrund einer Wissensbasis (z.B. gelabelte Daten) bzw. eines Modells errechnet.


Diagnoseunterstützung von komplexen Krankheiten (Krebs)

1. Ansicht (objektive Betrachtungsweise)

• Aussagekräftige Konzepte
• Kategorisierung (gemeinsame Eigenschaften in eine Kategorie)

2. Experimentelle Realität

• Menschliche Wahrnehmung nachempfinden
• Wahrnehmung
• Bewegung eines Körpers
• Erfahrung (physikalisch und soziel) => Heuristiken
• prototypenbasierte Kategorien (definiert durch kognitives Modell) => z.B. Modell

3. Ähnlichkeiten

• Existenz einer realen Umgebung
• stabiles Wissen über die Welt
• Realität limitiert diese Konzepte

Algorithmische Möglichkeiten:

• supervisierten Lernen
• unsupervisierten Lernen

Es werden vom Menschen gelabelte Daten (z.B. Das ist Tumor, das ist Entzündung, ...) von Stichproben  vorgegeben, an denen sich ein Klassifikator orientiert => Training eines Klassifikators

Algorithmen zum Training eines Klassifikators:

• Supported Vector Machine
• Random Forests
• Neuronale Netze

Es wird versucht anhand von mehrdimensionalen gegebenen Daten eine Ordnung der Daten zu berechnen ohne dass Vorwissen über die Daten vorhanden ist. Es geht dabei lediglich um eine Differenzierung der Daten (z.B. visualisiert durch Segmentierung (Exprimage SOM)), nicht um eine Erkennung. Es gibt keine Stichproben mit gelabelten Daten. Es wird nur anhand der momentanen Datenbasis versucht eine Ordnung zu finden.

=> Erstellen von homogenen Teilmengen (Clustern)

Clustering-Algorihtmen

• K-Mean-Clustering
• Self-Organizing-Map (SOM), Neuronale Netze
• Histogrammbasierte Clusteranalyse

Maschinelles Lernen:
finden von bekannten Mustern in neuen Daten

Data-Mining (Daten schürfen):
finden neuer unbekannter Muster (Zusammenhänge) aufgrund großer Datenmengen

Beide Vorgehensweisen verfolgen das Ziel der Mustererkennung.

1. Stichproben
2. Merkmale
3. Kompaktheit
4. Segmentierungsobjekte (komplexe Muster lassen sich in einfachere Bestandteile zerlegen)
5. Strukturen (komplexe Muster)
6. Ähnlichkeiten

1. Informationen über Problemkreis sammeln

• repräsentative Stichproben
• Generalisierung von Beobachtungen => Konfidenzintervall (Vertrauenbereich) Er sagt etwas über die Präzision der Lageschätzung eines Parameters (zum Beispiel eines Mittelwertes) aus.
• Stichproben sollten möglichst disjunkt sein

=> Randfälle finden
=> Interessante Fälle finden

2. Merkmale

Ein Muster besitzt Merkmale, die für seine Zugehörigkeit zu einer Klassse charakteristisch sind (z.B. Mittelwerte, Standardabweichungen, Haralick-Features (Koockurenzen), Farbe, morpholigische Merkmale, ...)

=> generelle Features/Merkmale eines Musters berechnen

3. Kompaktheit
Die Merkmale bilden für Muster einer Klasse einen einigermaßen kompakten Bereich im Merkmalsraum => trennen Klassen gut
=> Kompaktheitshypothese
Die Anzahl der Features sollte nicht zu groß sein
=> da "course-of-dimension" (exponentieller Volumenzuwachs des Suchraumes durch Dimensionsvergrößerung)

=> Aussagekräftige Features bestimmen (z.B über PCA)

4. Segmentierungsobjekt
Ein (komplexes) Muster besitzt einfachere Bestandteile, die untereinander bestimmte Beziehungen haben. Das Muster lässt sich in diese Bestandteile zerlegen.
Übergang von unstrukturierten Pixelmengen => interpretierbaren Objekten

Segmentieren der Bilddaten (Abstrahieren und Zusammenfassen der gegebenen Daten/Informationen)

Beispiel:
Anwendung der SOM => komprimiert verschiedene Hormon-Färbungen zu einem aussagekräftigen Bild.

5. Strukturen
Ein (komplexes) Muster aus einem Problemkreis hat eine bestimmte Struktur. Das bedeutet, dass nicht jede beliebige Anordnung einfacherer Bestandteile ein Muster ergibt.
Muster lassen sich mit relativ wenigen einfacheren Bestandteilen darstellen.

=> nicht jede Anordnung eines Musters ist erlaubt!
Beispiel: In der Medizin weiß man, dass der Schädel sich nicht am Fuß befindet.
=> Vorwissen über gegebene Strukturen wird benötigt und kann verwendet werden.

"nachts ist es kälter als draußen" => macht keinen Sinn! => ungültiges Muster!

6. Ähnlichkeiten/Vergleich

Muster sind ähnlich, wenn ein definierter Abstand (z.B. euklidischer Abstand für Feature-Vektoren) klein ist!

=> Wahl einer adequaten Metrik!

Aufnahme durch Messung verschiedener physikalischer Effekte mittels verschiedenster Gerätschaften mit individuellen Eigenschaften.

Beispiele:

• MRT
• CT
• CCD-(Chip)-Kamera
• CMOS-(Chip)-Kamera
• Mikroskop
• ....

Segmentieren von Bildobjekten (kann auch Teil der Vorverarbeitung sein)

• Clusteranalyseverfahren (unüberwachtes Lernen, Bsp.: K-Means-Clustering)
• Regionenbasiert (Region-Growing)
• Kantenbasiert
• Klassifikatorbasierte Segmentierung

Ein vorgegbenes Muster f wird in ein anderes Muster f´ überführt, dass für die weitere Verarbeitung besser geeignet ist oder/und den Prozess vereinfacht.

• Kodierung
• Schwellwertoperationen
• Lineare Operationen
• Nicht-Lineare-Operationen
• Normierungsmaßnahmen
• Operationen auf diskreten Mustern

Die Segmentierung (Strukturierung/Verdichtung der Daten) kann als eigener Schritt vor der Merkmalsgewinnung eingesetzt werden.

Ein Muster hat in der Regel einen kontinuierlichen Definitionsbereich und einen kontinuierlichen Amplitudenbereich (Wertebereich). Für die effektive Darstellung von Mustern in einer für den digitalen Rechner geeigneten Form ergeben sich drei wesentliche Probleme:

1.Abtastung/Sampling: Wieviele Abtastwerte braucht man um zur angemessenen Darstellung des Musters bzw. wie groß muss das Abtastintervall sein?

2. Quantisierung: Wieviele Quantisierungsstufen braucht man zur angemessenen Darstellung der Funktionswerte? => wie muss die Bittiefe eingestellt werden?

3.  Wie sollten die Abstufungen in der Quantisierung gewählt werden (linear,logarithmisch,....?)

Abtasttheorem
oder im allgemeinen Fall
.

Die praktische Interpretation des Abtasttheorems bedeutet, dass man nur vor der Abtastung die maximale Frequenz kennen oder herausfinden muss (z.B. mit Hilfe der Fourier-Analyse) und das Signal zum Zweck der Digitalisierung mit mehr als der doppelten Frequenz abgetastet werden muss, wenn man das Signal in einer korrekten und guten Näherung rekonstruieren will (ohne Fehler => unendlicher Aufwand).

=> Nyquist-Shannon-Abtasttheorem =
(Nyquist-Frequenz)

=> wird das Theorem nicht eingehalten kommt es zu Aliasing (siehe Bild) und das Signal kann nicht korrekt wiederhergestellt werden. 

Quantisierungsstufe (s) =

, B = Anzahl Bits, die zur Verfügung stehen

Beispiel (Skalare lineare Quantisierung bei Farbbildern 16Bit-Farbtiefe => 8Bit Farbtiefe quantisieren):

= neue Farbzuordnung
= alte Farbzuordnung
= neue Anzahl Quantisierungsstufen (z.B. 8Bit)
= alte Anzahl Quantisierungsstufen (z.B. 16Bit)

Quantisierungskennlinie

• kann linear (gleiche Abstufungen) oder nicht-linear (verfeinerte Abstufungen bei größerer Krümmung (2.Ableitung)) sein
• 
• SNR groß = wenig Rauschen
• SNR klein = viel Rauschen

Die Auswahl einiger und die Unterdrückung der restlichen Funktionswerte.
Geeignet für einfache Bilder, die auf einem sich stark abhebenden Hintergrund aufgenommen wurden (Beispiel: Gussteil vor Detektorplatte, .. Teile auf Förderband).

Binärisierung:

• Verfahren von Otsu
• Schnitt von zwei Gaußfunktionen/Normalverteilungen
• Adaptive-Histogram-Thresholding (Integralbild)
• Maximum-Entropie-Schwellwert

Ziel: man approximiert durch zwei Gaussfunktionen das Histogramm => bei Schnittpunkt liegt der gesuchte Schwellwert!

Algorithmus:
1. initialen Schwellwert (, z.B. 128 bei 8Bit (256 Grauwerten)) setzen
2. Wiederhole

• berechne (links von ) und (rechts von )
• berechne aus Verhältnis beider Gaussfunktionen (zur Normierng )
• berechne Fehler zwischen Approximation und Histogramm (z.B. quadratischen Fehler)
• verschiebe bis

3. mit minimalen Fehler => Schwellwert (gefunden)

• funktioniert gut bei bimodalen Histogrammen (z.B. homogenes Objekt auf homogenen Hintergrund)
• funktioniert nicht bei unimodalen Histogrammen (nur ein Peak => dann besser Schwellwert aus relativem Maximum und erstem verschwindenden Wert im Histogramm bestimmen

Adaptive-Histogram-Thresholding

Integralbild = SAT (Summed-Area-Table)


Algorithmus:
1. Berechne Integralbild (SAT)
2. Berechne Mittelwert in Nachbarschaft von SAT

• wenn Intensität des betrachteten Pixels in der SAT t Prozent höher ist als => setze Pixel auf 1
• sonst => setze Pixel auf 0

Funktioniert auch zur Einteilung von mehreren Pixelklassen (nicht nur binär sondern z.B. 5 Abstufungen)

Maximum-Entropie-Schwellwertverfahren

Algorithmus:
1. initialisieren bei in Histogramm
2. Iteriere über alle Bins im Histogramm (man schiebt von links einzeln bis )

• berechne und speichere Entropie von beiden Klassen links von und rechts von ((Vorder- und Hintergrund) für jedes

3. nach Iterationen wähle mit

• funktioniert nur bei bimodalen Histogrammen gut (Objekte auf Hintergrund)
• es wird versucht die Entropie zwisch den beiden Klassen (Vorder- und Hintergrund) zu maximieren, so dass jede Klasse ein maximal viel Information ohne die andere Klasse hat => Informationen im Vordergrund und Informationen im Hintergrund
• lässt sich auf für mehrere Schwellwerte (Grauwerabstufung z.B. 256 => 5) einsetzen

Idee:

• Regen fällt auf eine Landschaft (Pixelintensitäten als Gebirge) und füllt langsam die Löcher, die zu Seen werden
• dazwischen liegen die Wasserscheiden / Dämme
• => Segmente sind die entandenen Seen

Anwendung:

• auf Gradientenbilder
• oder direkt auf Intensitätsbilder

Algorithmus
1. Lese Bild
2. sortiere Pixelwerte bzw. Pixelpositionen nach Grauwerten (z.B. 256-linked-lists)
3. initialisiere Regionen-Bild mit Labeln
4. Für alle Wasser-Level
Wiederhole

• flute Pixel, die bereits geflutete Nachbarn haben
• falls benötigt setze neue Region mit neuen lokalen Minimum =
• falls zwei Seen/Regionen zusammenfallen/sich berühren => setze Damm

bis alle Pixel das momentan Level erreicht haben
5. speichere Bild

Beseitigung oder Verbesserung fehlerhafter oder unnötiger Funktionswerte des Musters mit linearen Transformationen.

• Glättung des Bildes (Rauschen entfernen z.B. Röntgenaufnahmen) => Gaußfilter, Mittelwertfilter, ...
• Herausrechnen von Unschärfe / Verwacklung PSF
• Eliminierung von Artefakten
• ....

Spiegelung Y-Achse (lineare Abbildung)

• lineare Transformationen, die durch ein lineares System realisiert werden
• Muster können in verschiedener Weise beeinflusst werden (Erzeugung, Aufnahme, Übetragung, Speicherung, ...)
• durch Anwendung geeigneter Transformationen versucht man u.a. Rauschen zu reduzieren, Wichtige Informationen hervorzuheben (Kontrast verstärken), ideale Muster rekonstruieren (bei Defokussierung), ...

Lineare Systeme:

• f = Funktione (z.B. Bild)
• a = Skalar / Konstante
• T = eine Transformation (z.B. Faltung mit linearen Faltungskern g)
• = Kombination mit Konstante
• = Verknüpfung von zwei Funktionen

Linearer Filter / Lineare Faltung:

• Behandelt alle Pixel gleich (Impulsantwort ist immer bekannt) Ergebnis ist immer eindeutig .. die Anwendung der Faltungsmaske ist nicht abhängig von Position im Bild
• es gibt eine Umkehrfunktion
• Reihenfolge der Faltungen ist egal (erst Gauß dann Mittelwert = umgekehrt)
• Bsp.:

Dies bedeutet, dass die Wirkungsweise eines Operators (z.B. eine Maske eines Mittelwertfilters) nicht von der Position in einem Signal abhängt.

Bei der speziellen Klasse der verschiebungsinvarianten Systeme bewirkt jedoch eine Verschiebung des Einheitsimpulses lediglich
eine entsprechende Verschiebung der Impulsantwort, es ist also



In diesem Fall kann man ohne Einschränkung der Allgemeinheit den Impuls stets an der Stelle u = v = 0 ansetzen und erhält die Impulsantwort des verschiebungsinvarianten Systems zu

• bei Verschiebung des Systems ändert sich die Impulsantwort nicht
• Bsp.: Mittelwertfilter (Maske = 3x3 = 1) => Impulsantwort immer
• beim Median-Filter oder SNN Filter ändert sich die Impulsantwort bei Verschiebung der Maske (g) bzw. des Systems

- lineares System (lineare Nachbarschaftsoperation)
1.
2.
3.

- Faltung ist verschiebungsinvariant

- Kommutativität


- Assoziativität
Reihenfolge der Filteroperationen ist egal

Beseitigung oder Verbesserung fehlerhafter oder unnötiger Funktionswerte des Musters mit nicht-linearen Transformationen.

• Rangordnungsfilter: Kantenerhaltenden Filter ... Kuwahara, SNN, Median, Bilaterale Filter...
• Homomorphe Filter
• morphologische Operationen
• ...

Lineare Systeme (z.B. lineare Filter) sind gut geeignet für die Entfernung von additiven Raushen (gleichverteilt, gleiches Verhältnis) => für nicht-additives z.B. multiplikatives Rauschen nicht geeignet!
Homorphe Systeme sind Generalisierungen von linearen Systemen.

Idee: nicht-additives Signal und Rauschen in additives Reduzieren/Transformieren und dort die lineare Operation ausführen => dann wieder zurücktransformieren.

1. nicht-additiv -> additiv mit Transformation (charakteristisches System)
2. lineare Transformation (lineare Faltung)
3. wieder zurücktransformieren
=> nicht-lineare Transformation:

Beispiel 1:
Kombination Signal (signal) und Rauschen (noise) durch Multiplikation (nicht-additives Rauschen ).
Das charkteristische System zur Entfernung des multiplikativen Rauschens:



Beispiel 2:
Kombination von Signal und Rauschen durch Konvolution (Faltung) . Durch Fourier-Transformation (FT) kann die Faltung herausgerechnet werden.
Das charakteristische System zur Entfernung der Faltung:




Das Ergebnis von wird Komplexe Ceptrum genannt.

Angleichung der Werte einiger Parameter an Normalwerte oder bestimmten Wertebereich (z.B. zur besseren Vergleichbarkeit). Die Normierung soll den Wertebreich von Parametern, die für die Klassifizierung irrelevant sind, reduzieren, um bei gegebenen Aufwand für die Klassifikation eine geringe Fehlerwahrscheinlichkeit zu erreichen.

Parameter, die beispielsweise für eine Normalisierung in Frage kommen:

• Größe
• Rotation
• Helligkeit
• Sättigung
• Beleuchtung

Parameter, die für die Klassen wichtig sind (Unterscheidungsmerkmale), sollten nicht normalisiert werden.

Ziel: Normalisierung dient dem Zweck für Klassen irrelevante Parameter auf normale / vergleichbare Werte zu bringen.
=> Schwankungen in Mustern reduzieren, die keinen Einfluss auf die Bedeutung haben.


Alle A's haben die gleiche Bedeutung unterliegen allerdings Schwankungen (Rotation,Strichstärke, Größe, ...) die zur einfacheren Klassifikation normiert werden sollten.

Parameter, die normalisiert werden:

• Größe
• Laufzeit
• Pose (Kombination von Position und Orientierung)
• Rotation
• Energie (Helligkeit)
• Strichstärke (z.B. bei Schriftzeichen)
• Beleuchtung
• charakteristische Sprache (Lautstärke, Akzente, ...)
• Sättigung
...

Parameter, die für eine Klasse wichtig sind dürfen nicht normalisiert werden!

Beispiel 1 (Rotation):
- Rotation bei 6 und 9 ist wichtig => nicht normalisieren!
- bei Chromosonen nicht => normieren!

Beispiel 2 (Größe):
- Größe von a und a ist irrelevant => normieren!
- Größe von ´ und / ist relevant => nicht normieren!

- lineare Abbildung der Intervalle zu einem normierten Intervall von fester Größe
=> normierung der Größe und Position/Pose

1. durch Resampling (nochmaliges Abtasten in größeren Abständen) => verkleinern

2. durch (bi-)lineare Interpolation zwischen Abtastwerten => vergrößern



Problem: bei Vergrößerung eines Bildes müssen neue Pixel zwischen bestehenden gebildet werden, die den Charakter des Bildes erhalten.

Mit Hilfe der Momente:

• Musterschwerpunkt berechnen und in Ursprung verschieben
• Muster in Normorientierung bringen

1. Translation in Schwerpunkt / bzw. des Schwepunktes (Momente)
2. Normalisieren der Größe, Skalierung der Größe auf 1 (durch zentrierte Momente im Bezug zum Schwerpunkt)
3. Rotation auf Hauptachsen / Hauptträgheitsachse (durch zentrierte Momente im Bezug zum Schwerpunkt)
4. Spiegelung an Y-Achse (falls notwendig)

• Klassifikation bedeutet grob: Muster (fx) => Zahl (Klasse) k
• in Praxis nicht in einem Schritt => Klassifikation wird in mehrere Unterziele zerlegt => Teilschritt löst Teilproblem
• Trennung zwischen Merkmalgewinnung und Vorverarbeitung kann unscharf sein
• Merkmale dienen dazu die Datenmenge zu reduzieren (auf wichtige Aspekte im Muster, Bsp.: nur Tumor nicht ganzer Körper)
• => trennscharfe Informationen herausarbeiten (Bsp.: Unterscheidung O und Q (rechter unterer Teil wichtig!)
• Konzentration auf die für die Klassifikation wichtige Information

Anforderungen an Merkmale:
1. Gütekriterium vorhanden (wie gut ist das Merkmal? => Fehlerwahrscheinlichkeit)
2. Merkmalsgewinnung weitesgehend unabhängig von Vorverarbeitungsoperationen
=> jedes Muster erhält einen Merkmalsvektor (das Muster wird durch Transformationen umgeformt in einzelne Zahlenkodierungen (Feature-Vektoren))

Dabei gibt es zwei verschiedene Ansätze:
1. heuristische Methoden (Merkmale aufgrund Intuition, Erfahrungen, ...)
2. analytische Methoden (optimale Merkmale systematisch ableiten, Problemabhängige Reihenentwicklung)
=> Bewertung der Merkmale und Auswahl möglichst guter Untermengen (z.B. über PCA)

• Reduktion der Datenmenge (auf wesentliche/gesuchte Informationen)
• quantitative Analyse der Muster / Bilddaten
• charakteristische Eigenschaften werden durch Merkmale komprimiert dargestellt
• Haralick-Features (Kookurenzen)
• Momente
• statistische Werte
• Fourier-Deskriptoren
• Orthogonale Reihen
• morphologische Eigenschaften

=> Feature-Vektor

• Entwicklung nach einem orthogonalen Basensystem (Verwendung von Koeffizienten eine Reihenentwicklung)
• Merkmale für Texturerkennung
• Merkmale für Objekterkennung
• Merkmale für Spracherkennung

=> Merkmalsbewertung möglich über PCA

nicht-zentrierte Momente:



zentrierte/zentrale Momente:

, mit und die den Schwerpunkt definieren und als Referenz dienen.

normalisierte zentrale Momente:

• Momente zählen zu den heuristischen Methoden der Merkmalsgewinnung
• sind gewichtete Mittelwerte aus Helligkeitswerten/Positionen(Binärbild) der Pixel

Sie beschreiben z.B. Formeigenschaften einer binären Region:

• Fläche einer Region (oder Summe aller Grauwerte)
• Schwerpunkt einer Region (oder Mittelwert aller Grauwerte)
• Normalisierung der Skalierung durch normalisierte zentrale Momente
• Orientierung (Richtung der Hauptachse, geringste Trägheit) => Normierung der Orientierung
• Exzentrität (Ausdehnung)

Eigenschaften (normierte zentrale Momente)

• invariant bzgl. Translation
• invariant bzgl. Rotation
• invariant bzgl. Skalierung

invariante Momente "Hu's Momente" => Kombination einfacher Merkmale (Momente)

1. zunächst Beleuchtung und Helligkeit (Energie) normalisieren

2. Schwellwertoperation (Maximierung-Entropie, Approximation von zwei Normalverteilungen, Otsu) => Vordergrund (Muster) Hintergrund trennen

3. Größe (Resampling oder lineare Interpolation) und Lage normieren (mit Momenten)

4. Strichstärke normieren

5. Merkmale bestimmen

• Umfang (Länge äußerer Kontur) T > I
• Fläche                                             T > I
• Rundheit                                         T < I
• Bounding-Box                                T > I
• Momente (Lage Schwerpunkt)    T weiter oben als I
• Momente (Exzentrität)                   T größer als I
• Anzahl Ecken (HCD)                    T > I
• Projektion entlang Koordinatenachsen
• Topologische Merkmal z.B. bei 8 und 9 Anzahl der Löcher

• Interessenspunkte => Idee: Ecken (sind in fast jedem Bild enthalten und ihre Position kann eindeutig bestimmt werden)
• robust gegenüber Skalierung, Rotation  und Beleuchtung
• kodiert gleichzeitig homogene Bereiche, Kanten und Ecken (Strukturtensor)

Lokale Maxima => Non-Maxima-Unterdrückung

Der Strukturtensor/Autokorrelationsmatrix kodiert lokale Umgebung eines Pixels. Aufgrund der Symmetrie kann er diagonalisiert werden.


bzw. sind die Eigenwerte der Eigenvektoren des Strukturtensors. Sie kodieren die lokale Umgebung.

homogene Region
Kante/Kontur
Eckenregion

weitere Details siehe Lernkarte

Entwicklung des Musters f(x) nach einem orthonormalen Funktionssystem.

Eine Menge von Vektoren spannt einen Vektorraum V auf, wenn sich jedes Element aus V als Linearkombination von Vektoren aus darstellen lässt. Die Koeffizienten c der Linearkombination sind die Entwicklungskoeffizienten.
Wenn zu jedem Element aus V eindeutige Entwicklungskoeffizienten gehören, so bildet
eine Basis für V .
Der Vektor f enthält die Abtastwerte des Musters.
Die Entwicklung eines Vektors f nach orthonormalen Basisvektoren aus ergibt die eindeutigen Entwicklungskoeffizienten c wenn man die orthonormalen Basisvektoren den Zeilen der Matrix zuordnet. So kann man den Vektor c als Feature-Vektor verstehen, der das Muster eindeutig beschreibt.

Die Vektoren f und c haben M und n Kompo-
nenten, M ≥ n, sodass die Matrix die Größe nM hat. n gibt dabei die Anzahl der verwendeten Basisvektoren an.
Dabei ist eine Approximation für f , und für n = M ist = f , wenn die Basisvektoren vollständig sind.
In der Praxis reduziert man die Anzahl der Basisvektoren auf die wichtigsten um die Informationen auf einen niedrigdimensionalen Feature-Vektor zu reduzieren. Dabei entsteht ein Fehler , der aufgrund des Orthogonalitätsprinzips minimal ist.
Die Entwicklungskoeffizienten c sind nichts anderes als die Beträge der Projektionen der einzelnen Werte aus f auf die Basisvektoren (siehe Orthogonalitätsprinzip).

Dadurch erreicht man durch das "wegwerfen" der Dimensionen (Verwendung weniger Basisvektoren n<<M) einen vertretbaren Fehler .

Die Forderung nach Minimierung des Fehlers besagt dann, dass der Abstand zwischen und
minimal sein soll. Das ist dann der Fall, wenn der Vektor



senkrecht auf steht, also wenn das Skalarprodukt



ist.

Das lässt sich auf die Matrix übertragen:

=>
=>

=>

Man kann nun verschiedene "Standardsysteme" die je nachdem in anderen Räumen mit eigenen verschiedenen Basisfunktionen/Basisvektoren verwenden, die bestimmte Sachen besser kodieren oder schlechter. Bei den Basensystemen handelt es sich um heuristiken, die sich als erfolgreich im Bezug zur Feature-Gewinnung und Klassifikationen erwiesen haben.

"Eine Heuristik ist gut, wenn sie erfolgreich ist!"

• Diskrete Fourier-Transformation (DFT)
• Walsh-Transformation
• Diskrete Cosinus-Transformation (DCT)
• Legendre-Polynome
• Hermite-Funktionen
• ....

Die Basisvektoren erhält man aus den Walsh-Funktionen in dem man das Intervall (-0.5,+0.5) mit Werten abtasten, wobei es nur Abtastwerte +/- 1 (Amplitude) gibt. Die Transformationsmatrix lässt sich rekursiv aus der HADAMARD-Matrix mittels Kronecker-Produkt berechnen.




Diese Matrix enthält die Abtastwerte der ersten vier Walsh-Funktionen und bildet ein orthogonales Basensystem (alle Zeilen und Spalten orthogonal, nur 1 und -1 als Koeffizienten).

Die Hadamard-geordnete Walsh-Hadamard-Transformation (WHT) eines Mustervektors f mit M Komponenten erfolgt gemäß



Die Inverse

• nur Addition und Subtraktion nötig
• Resultat (c) sind reelle Zahlen
• gibt schnelle Implementierung mittels Faktorisierung

• Features (c, die Entwicklungskoeffizienten) sind translationinvariant
• wichtiges Werkzeug für lineare, verschiebungsinvariante Systeme
• ermöglicht Wege die Ausgabe von linearen Systemen zu berrechenen
• kann durch FFT schnell berechnet werden
• erlaubt Visualisierung des Effektes eines linearen Systems
• invariant zur Translation
• einfache Matrixvektor-Operation
• sie bildet komplexe Vektoren auf komplexe Vektoren ab
• die Foruier-Matrix lässt sich aus der n'ten primitiven Einheitswurzel konstruieren wobei M die Länge des Vektors f ist.
• die Basisvektoren
• 

Originalbilder und ihre Repräsentation im Eigenspace (Feature-Vektor ).

Idee (Funktionsweise):

• Darstellung des Bildes als Spaltenvektor in dem das Bild Zeilenweise eingetragen wird
• Der Vergleich zwischen 2 Bildern und mit reduziert sich auf die Berechnung des Skalarproduktes . Je größer desto ähnlicher die beiden Bilder (Projektion des einen Vektor auf den anderen)
• Der Bildverktor ist zu groß für schnelle Berechnungen, daher reduziert man mittels einer linearen Transformation auf Featurevektor
• Für alle Eingabevektoren (Eingabebilder, z.B. rotierter Locher) bildet man den Mean-Vektor . zieht ihn von jedem Bild ab und schreibtdie Bildvektoren in die Matrix
• Man bestimmt dann die Eigenvektoren von (z.B. mittels SVD)
• Man kann dann aus Linearkombination aus und Eigenvektoren den Feature-Vektor im Eigenspace berechnen

Praktische Anwendung zur Objekterkennung:

• Für jede Klasse werden  Feature-Vektoren im Eigenspace generiert (für jedes verwendete Bild unter verschiedenen Aufnahmebedingungen => Trainingsset) und entsprechend (enthält verwendete Eigenvektoren aus K)
• die Vektoren einer Klasse bildern das Modell
• die Korrelation zwischen zwei Bildern lässt sich dann approximiert durch die Eukldische Distanz aus berechnen
• ist wesentlich schneller, da wesentlich weniger Dimensionen hat

Klassifikation mittels Eigenspaces:
Die Klassifikation eines Bildvektors (Voraussetzung: Bild befindet sich in Trainingsset) verläuft unter Verwendung des Modells und der Eigenwertmatrix
1. Transformation des Bildvektors in den Eigenspace =>
2. Vergleich mit allen Eigenspace-Vektoren aus
3. Wähle Vektor mit minimaler Distanz zu => Objekt gefunden!

Antwort

=> Lernstichproben
=> Feature-Vektoren von markanten Beispielen

Die Lernkomponente verwendet die Stichproben (Feature-Vektoren) und das implizite Wissen.
Der verwendete Klassifikator justiert die Grenzen der Klassenbereiche im Merkmalsraum => Trainierter Klassifikator



M=Merkmale(1 bzw. 2)

Bei neu zu klassifizierenden Mustern werden zunächst die Merkmale berechnet und direkt anhand des trainierten Klassifikators (aus den Stichproben) im Merkmalsraum einer Klasse zugeordnet.

Klassifikatoren werden für das überwachte Lernen verwendet.

1. Auswahl Klassen (z.B. durch Markierung bestimmter Gewebsbereiche im Bild => Tumor, kein Tumor, Stroma, Entzündung, ...)

2. Zuweisung aller Pixel zu den entsprechenden Klassen -> verschiedene Methoden / Klassifikatoren

• Maximum-Likelihood ( Zuweisung anhand der größten Zugehörigkeitswahrscheinlichkeit)
• Minimum-Distance ( Zuweisung anhand des nächstgelegenen Klassenmittelpunktes)
• K-Nearest-Neighbours
• Support Vector Machine
• Neuronale Netze (iterative Optimierung der Verbindung zwischen den einzelnen Einheiten (Pixeln)
• ...

• ein Klassifikator dient dazu eine Funktion zu finden, die die Merkmale möglichst optimal in Klassen einteilt (aufgrund von ausgewählten Stichproben)
• der trainierte Klassifikator wird mit dem Ziel eingesetzt, neue, nicht in der Stichprobe enthaltene Muster der Klassen anhand der Merkmale automatisch zuzuordnen.

Eine lineare Funktion teilt den Merkmalsraum (2D) in zwei Klassen auf. Anhand des trainierten Klassifikators wird im Klassifikationsschritt das Muster anhand seiner Merkmalsausprägungen unmittelbar einem Klasse zugeordnet.

Man kann jede periodische, kontinuierliche Funktion als Summe von Sinus- und Kosinustermen konstruieren (siehe Bild rotes Signal).


a = Amplitude
= Frequenz
= Phase

Das Fourier-Integral beschreibt die ursprüngliche Funktion g(x) als Summe unendlich vieler Kosinus-/Sinusfunktionen mit kontinuierlichen (positiven) Frequenzwerten, wofür die Funktionen und eindeutige Frequenzkoeffizienten liefern. Das Signal g(x) bzw, f(x) ist durch die zugehörigen Funktionen bzw. und bzw. eindeutig definiert. Sie beschreiben die Amplitude und die Frequenz des Signals g(x) bzw. f(x).

Die Fourier-Transformation hat eine Reihe von Basisfunktionen (bestehend aus Sinus- und Cosinus-Funktionen) .. die sogenannten Fourier-Reihen.
Durch Kombination der Fourier-Reihen mit den eindeutigen Frequenzkoeffizienten wird das Signal g(x) bzw. f(x) im Ortsbereich eindeutig im Frequenzbereich G(w) bzw. beschrieben.

Symmetrie:
Um den Urpsrung symmetrisch

Linearität:
Die Fourier-Transformation ist eine lineare Operation (w = Frequenz)



Ähnlichkeit:
Wird die ursprüngliche Funktion g(x) in Zeit oder Raum skaliert, so tritt der entgegengesetzte Effekt im zugehörigen Fourier-Spektrum auf.


Verschiebungseigenschaft:


Faltungseigenschaft:
Eine Multiplikation der Funktion in einem Raum (Orts- oder Spektralraum) entspricht einer linearen Faltung () der zugehörigen Transformation im jeweils anderen Raum.