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Zwei Vektoren sind dann genau gleich, wenn sie die durch ein und denselben Pfeil beschrieben werden können. Genau dann stimmen die zugehörigen Pfeilklassen überein.

Unter einem Vektor versteht man die Menge aller Pfeile, die gleich lang zueinander parallel und gleich orientiert sind. Ein einzelner Pfeil auf dieser Menge heißt Repräsentant des Vektors.
Ein Vektor ist ein Zahlentripel aus drei Koordinaten:

Dies bedeutet die Nacheinanderausführung der jeweiligen Verschiebungen.
Das Resultat lässt sich wieder als Vektor beschreiben.
Praxis: Addition der Koordinaten

Kommutativgesetz a+b=b+a
Assoziativgesetz (a+b)+c= a+(b+c)

Man subtrahiert zwei Vektoren von einander, indem man den entgegensetzten Vektor zu dem anderen Vektor dazu addiert. 

Der Vektor, der jeden Punkt auf sich selbst abbildet.
Länge null
keine Richtung

wenn r>0 Vektor gleichgerichtet
wenn r<0 Vektor ist entgegengesetzt gleichgerichtet
wenn r=0 -> Nullvektor

ist gleich der Strecke
Wenn dann wird dieser als Einheitsvektor bezeichnet.

Für eine Strecke gilt:

Eine Vektor ist genau dann zu einem Vektor  parallel, wenn es eine reelle Zahl r oder eine reelle Zahl s gibt, sodass gilt
und

Der Vektor ist eine Linearkombination der Vektoren und , wenn es reelle Zahlen und gibt, sodass gilt.

Die Vektoren sind linear unabhängig, wenn sich kein Vektor von diesen als Linearkombination darstellen lässt.
Lässt sich wenigstens ein Vektor der Vektoren mit einer Linearkombination darstellen, so bezeichnet man die Vektoren linear abhängig.

sind linear unbhängig, wenn aus

stets
= 0 folgt. 

Wenn allerdings nicht alle  gleich null sind, dann sind    linear abhängig.

und sind zwei Vektoren so nennt man das Skalarprodukt

Wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, so ist das Skalarprodukt = 0.

Die Gerade g, die durch den Punkt mit dem Stützvektor und dem Richtungsvektor bestimmt ist, kann durch die Gleichung beschrieben werden.

Zwei Geraden und der Ebene oder des Raumes sind genau dann parallel zueinander, wenn die zugehörigen Richtungsvektoren und linear abhängig (also parallel) sind.

keine Lösung: Parallelität überprüfen (lineare Abhängigkeit)-> falls nein -> und sind windschief

eine Lösung: es gibt einen Schnittpunkt S -> Spezialfall Orthogonaler Schnittpunkt

unendliche viele Lösungen: und sind gleich

- kein Schnittpunkt
- lineare Unabhängigkeit der Richtungsvektoren

ist

Einen zu den Spannvektoren und einer Ebene orthogonalen Vektor nennt man Normalenvektor von . Der zugehörige Einheitsvektor heißt Normaleneinheitsvektor und wird mit  bezeichnet.

Eine Ebene , die durch den Punkt und ihren Normaleneinheitsvektor und den Normalenvektor bestimmt ist, kann durch die Gleichung beschrieben werden.

der ist in diesem Fall der Stützvektor der Ebene.

Beispiel:


Jede Ebene in Koordinatenform lässt sich so schnell in die Achsenabschnittsform umwandeln.

LGS

• hat genau eine Lösung -> g schneidet E in genau einem Punkt Richtungsvektoren von g ist unabhängig von den Richtungsvektoren der Ebene und
• hat keine Lösung -> g ist parallel zu E -> Richtungsvektoren von g und E sind linear abhängig
• hat unendlich viele Lösungen -> g liegt in E -> Richtungsvektoren von g und E sind linear abhängig

LGS

•     hat keine Lösung -> sind linear abhängig

1. LGS aufstellen -> beide Ebenengleichungen gleichsetzen
2. einen beliebigen Parameter für eine Variable einführen
3. Gaußsches Eliminationsverfahren
4.  Den Parameter für die Variable in die Ebenengleichung und eine weitere Lösung einsetzten

Beispiel



Für wurde der Parameter t eingeführt
Ebenengleichung
Für und einsetzten

1. LGS/ Matrix in GTR eingeben

2. 2nd Matrix - RREF([A]

3. Lösung aufstellen
Daraus folgt:
                      
                      
                      
                       t wird als Parameter für eingeführt

Für und einsetzen

der Vektor muss natürlich in der Stützvektor der Ebene sein


Beispiel:

• bei Parallelität kann man mit dem Stützvektor der anderen Gerade den Abstand berechnen -> wird zum "Abstandspunkt" der Geraden

Geraden windschief zu einander:

• zwei Ebenengleichungen aufstellen
• Richtungsvektoren der Ebene sind die Richtungsvektoren der zwei Gerade
• Stützvektor ist einmal der von und einmal von *Abstand Ebene berechnen