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Alle Oberthemen / Mathematik / Wahrscheinlichkeitsrechnung

Stochastik (62 Karten)

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Definition: Disjunkt
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Die Axiome von Kolmogoroff
1.
2.  
3. wenn A und B disjunkt
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Definition eines Wahrscheinlichkeitsraums (diskreter Fall) und der darin vorkommenden Größen!
Das Tupel heißt Wahrscheinlichkeitsraum. Dabei bezeichnet den Ereignisraum also die nichtleere Menge aller möglichen Versuchsergebnisse, die Menge der Ereignisse , die uns interessieren und das Wahrscheinlichkeitsmaß, das jedem Ereignis aus eine Wahrscheinlichkeit zuordnet.
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(Stochastische) Unabhängigkeit zweier Ereignisse + Beziehung zw. stochastischer und paarweiser Unabhängigkeit bei mehr als 2 Ereignissen

Stochastische Unabhängigkeit ist die Unabhängigkeit jeder Teilfamilie der Ereignisse. Demnach folgt aus stochastischer Unabhängigkeit die paarweise Unabhängigkeit aber nicht umgekehrt!
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Möglichkeiten der Auswahl von k aus n Elementen unter Berücksichtigung der Reihenfolge und ohne zurücklegen?
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# Anordnungen von n Elementen von denen gleich sind?
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Möglichkeiten der Auswahl von k aus n verschiedenen Elementen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen?
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Formel für Stichproben des Umfangs n aus N untersch. Kugeln mit Zurücklegen in Reihenfolge?
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Formel für Stichproben des Umfangs n aus N untersch. Kugeln
ohne Zurücklegen in Reihenfolge?
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Formel für Stichproben des Umfangs n aus N untersch. Kugeln mit Zurücklegen ohne Reihenfolge?
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Formel für Stichproben des Umfangs n aus N untersch. Kugeln ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge?
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Beliebiges Beispiel für einen Run
z.B.:
ist ein Audi Run der Länge 2, danach ein BMW Run der Länge 3 und schließlich ein Audi Run der Länge 1. Insgesamt sind es zwei Audi Runs und ein BMW Run.
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Definition einer Zufallsvariable ?
Ist ein Wahrscheinlichkeitsraum und eine beliebige Menge, dann heißt eine -wertige Zufallsvariable. Hierbei ordnet einem zufällig gewähltem einen Wert zu.
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Definition des Erwartungswerts einer reellwertigen Zufallsvariable
Der Erwartungswert ist definiert als , falls existiert
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1) ?
2) ?
3) ?
4) unabhängig ?
5) Aussage für ?
1)
2)
3)
4)
5)
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Definition von inklusive Verschiebungssatz?
?


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Was ist eine Hypergeometrische Verteilung?
Seien schwarze und andere Kugeln in einer Urne, was ist also die Wahrscheinlichkeit aus schwarze Kugeln zu ziehn, wenn man Kugeln zieht?
Bei einer Hypergeometrischen Verteilung wird ohne Zurücklegen gezogen. Die zweite Frage ist ein typischer Fall für eine Hypergeometrische Verteilung.

Die Verallgemeinerung auf mehr als zwei unterschiedliche Arten von Kugeln ist naheliegend: man multipliziert im Zähler die Binomialkoeffizienten für jede Art von Kugeln.
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Was ist eine geometrische Verteilung?
Man interessiert sich für eine Wahrscheinlichkeit . Was ist damit gemeint und wie berechnet man sie?
Was ist und ?
Bei einer geometrischen Verteilung gibt es zwei mögliche Ausgänge (meist 0 und 1). Ein Treffer (1) hat die Wahrscheinlichkeit eine Niete (0) die Wahrscheinlichkeit .
bezeichnet hierbei die Wahrscheinlichkeit k 0er vor dem ersten 1er zu erhalten und es gilt
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Wann wendet man die Binomialverteilung an? Wie ist die Formel für die Binomialverteilung?
Was ist und ?
Die Binomialverteilung wird angewendet, wenn man N Experimente mit den gleichen zwei möglichen Ausgängen hat, was man Bernoulli Experimente nennt. Man interessiert sich für die Wahrscheinlichkeit k Treffer in den N Experimenten zu erzielen, welche gegeben ist durch:

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Wann verwendet man eine Negative Binomialverteilung?
Was ist die Formel dafür?
Was ist und ?
Die Negative Binomialverteilung wird angewendet wenn man die Wahrscheinlichkeit berechnen will k 0er vor dem r-ten 1er zu haben. Diese ist gegeben durch:

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Wann verwendet man die Poissonverteilung?  Wie ist sie definiert? Was sind und ?
Was ist ?* Was ist ?*
*-Funktion gegeben (Zettel)
Die Poissonverteilung wird als Annäherung an die Binomialverteilung genutzt, denn es gilt




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Sei eine Zerlegung von . Was ist nach dem Satz der totalen Wahrscheinlichkeit?
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Satz von Bayes im diskreten Fall?

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Sei eine Zufallsvariable auf . Die Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion (WEF) ist definiert als?
Die WEF ist eindeutig.
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Mit Hilfe der WEF:
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Eine Familie von Teilmengen von heißt -Algebra, falls gilt:


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Definition eines Wahrscheinlichkeitsraums (im stetigen Fall) und der darin vorkommenden Komponenten.
Ein Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Tripel


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Was ist eine Dichte?
Eine Dichte auf ist eine nicht-negative Funktion mit Dabei muss stetig bis auf endlich viele Sprungstellen sein, damit das Intergral wohldefiniert ist.
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Was ist eine Verteilungsfunktion prinzipiell im Zusammenhang zu einer Dichte ? Welche Aussage kann man über eine Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeit treffen?
eine Funktion auf mit Werten in heißt Verteilungsfunktion, wenn sie rechtsstetig und monoton wachsend ist und wenn für

gilt.



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und unabhängig.
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Dichte?
Verteilungsfunktion?
Erwartungswert?
Varianz?





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Dichte?
Verteilungsfunktion?
Erwartungswert?
Varianz?





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Dichte?
Verteilungsfunktion?
Erwartungswert?
Varianz?




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Erwartungswert von mit stetige Zufallsvariable?
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Wie ist Konvexität definiert?
g(X) konvex => B ?


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und Zufallsvariablen. Die Kovarianz von und ist definiert als?
und unabhängig. Was gilt für die Kovarianz?

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Definition der Korrelation der Zufallsvariablen und und deren Wertebereich?
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Was besagt die Ungleichung von Cauchy-Schwarz?
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Zufallsvariable mit Dichte , eine reellwertige Funktion. . Wie bestimmt man die Verteilung und die Dichte von ?
den Wertebereich von bestimmen
die Verteilungsfunktion von finden

     

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Wie ist das k-te Moment einer Verteilung definiert?
Wie das k-te zentrierte Moment?

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eine stetige Zufallsvariable. Was ist die MEF von ?
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eine stetige Zufallsvariable. Was ist die CF von ? (Exponentialfunktion ausformulieren)
Was gilt für die CF einer Summe von u.i.v. ZV?


Die CF der Summe ist das Produkt der einzelnen CFs


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Was besagt die Markov-Ungleichung?
(inklusive Vorraussetzungen)
eine stetige ZV mit Dichte und sei eine auf monoton steigende nichtnegative Funktion mit dann gilt:

          
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Tschebyscheff-Ungleichung in der Standardform?
Tschebyscheff-Ungleichung mit ?
eine stetige ZV mit endlicher Varianz. Für :

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Was bedeutet Konvergenz
in Verteilung?
in Wahrscheinlichkeit?
fast sicher?
Welche Beziehung gilt unter diesen 3 Konvergenzarten?



     
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Was besagt das Gesetz der großen Zahlen(Konvergenz in Verteilung)?
eine Folge u.i.v. ZV mit :

Oder mit Worten: Für eine reellwertige Folge u.i.v. ZV mit gleichem endlichen Erwartungswert für jedes Folgenglied konvergiert das arithmetische Mittel der Folge in Verteilung gegen den Erwartungswert.
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für u.i.v. ZV mit
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Was besagt das schwache Gesetz der großen Zahlen?
unabhängige ZV mit gleichem Erwartungswert und Varianzen Dann gilt :

Oder in Worten: Die Wahrscheinlichkeit, dass das arithmetische Mittel von n unabh. ZVen mit gleichem Erwartungswert um mehr als Epsilon vom Erwartungswert abweicht ist kleiner gleich und konvergiert gegen Null.
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Was besagt das starke Gesetz der großen Zahlen?
eine Folge unkorrelierter ZV und . Dann konvergiert die Folge

fast sicher gegen 0.
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Was ist , für Verteilungen?
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Ordnungsstatistiken:
=>





Kartensatzinfo:
Autor: WiMaAux
Oberthema: Mathematik
Thema: Wahrscheinlichkeitsrechnung
Schule / Uni: Universität Augsburg
Ort: Augsburg
Veröffentlicht: 16.04.2012
Tags: Unwin, 2011/12, Stochastik 1
 
Schlagwörter Karten:
Alle Karten (62)
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