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Für



falls integer, so gilt Gleichheit

Sei . Eine endliche Erweiterung heißt ein Zerfällungskörper von , falls über in Linearfaktoren zerfällt, etwa

Ist irreduzibel und ist eine Erweiterung, für die ein mit und existiert, so heißt ein Wurzelkörper.

Gesehen: ist ein Wurzelkörper.

Eine Erweiterung heißt ein Wurzelkörper von über , falls mit und

Sei Körper und ein Teilkörper.

Man schreibt oft oder " über " und nennt ein Körpererweiterung.

Man betrachte als -VR. Die Dimension entspricht dem Grad der Körpererweiterung.

Die Körpererweiterung heißt endlich, falls ihr Grad endlich ist.

ein Körper ist.

irreduzibel.

In integeren hauptidealringen.

Man setzt . Es heißt das -te Kreisteilungspolynom.


Ist eine Primzahl, so ist ein Eisensteinpolynom, also irreduzibel.

Die Menge ist genau der Durchschnitt aller Primideale.
Insbesondere ist ein Ideal in .

Korollar 3.11

Ring und natürliche Zahl mit . Ein heißt -te Einheitswurzel, falls eine der folgenden äquivalten Bedingungen erfüllt sind:

(a) ist Nullstelle des Polynoms
(b) Es ist

- ist , so heißt primitiv.
- ist Element der Einheitengruppe, insbesondere bilden alle -ten Einheitswurzeln eine Untergruppe der Einheitengruppe.

Sei ein Körper mit einem Teilkörper von , so nennt man eine Körpererweiterung.

heißt der Grad der Erweiterung.

Ist so ist der Grad

Für zwei Körpererweiterungen ist eine Abbildung (Ringhomomorphismus) ein -Homomorphismus.

Sei und eine Nullstelle in (). Dann ist mit

faktoriell, . . Gibt es ein prim in mit teilt nicht , teilt und teilt nicht , dan ist irreduzibel in .

Für gilt .

Es folgt: Falls primitiv, so auch .

faktoriell, . Sei . Gibt es ein Primelement von mit für und , so ist irreduzibel in .

Nein, das folgt nicht unbedingt.
Es hilft nur zu erfahren, ob es reduzibel ist.

Ein Ideal in ist maximal, wenn erstens gilt, dass für alle Ideale mit entweder oder gilt.

Zweitens, wenn der Faktorring ein Körper ist.

Die Voraussetzung ist integere und reicht schon aus.

Dazu muss ein nullteilerfreier Hauptidealring sein.

Beweis:

faktorieller Ring, .

Für ein Polynom gilt, der aller Koeffizienten von (Der ist damit aus ).

Ein Polynom heißt primitiv, wenn der Inhalt assoziiert zu ist, also .

Bedeutet: Die Koeffizienten in dem Polynom sind Teilerfremd.

Nein, in .

Ist Körper, so ist jedes Polynom primitiv.

Für das Lemma von Gauß wird faktoriell und betrachtet.

...ebenfalls ein Ringhomomorphismus

nämlich
(für alle ) -mal.

... ist nur dann ein Teilring von , wenn ist.

...ein Ideal in .

Beweis: Seien und . Also . Mit ist , also .

Additivität klar.

heißt Hauptidealring, falls integer und jedes Ideal in ein maximales Ideal ist.

In irreduzible Elemente. Theorem 2.11, Beweis auf seleber Seite im Skript BII.

irreduzibel.


(Lemma 4.2)

Für einen Ring vom Typ ist die Norm eine Abbildung

Ein Ring heißt faktoriell, wenn integer ist und die äquivalenten Eigenschaften aus Theorem 4.5 besitzt, also:

(i) Jede Nicht-Einheit in ist ein (endliches) Produkt von Primelementen
(ii) Jede Nicht-Einheit in ist ein (endliches) Produkt aus irreduziblem Elementen und diese Darstellung ist Eindeutig bis auf Reihenfolge und Assoziertheit.
(iii) Es gibt keine unendlichen Teilerketten in und je zwei Elemente in besitzen einen .
(iv) Es gibt keine unendlichen Teilerketten in und jedes irreduzible Element ist prim.

Das Zentrum einer Gruppe i.Z. ist die Menge aller derjenigen für die gilt: verknüpft mit ist gleich verknüpft mit für alle , also .

Ein nilpotentes Element Ring ist ein Element, für das es ein gibt, so dass für alle gilt .

Man nennt den Nilpotenzindex.

Sei Menge, sei .

heißt eine Kette, falls für je zwei Elemente aus , dass das eine Element Teilmenge des anderen oder umgekehrt ist.

Also: Falls

impliziert einen Homomorphismus in Gegenrichtung mit wobei .

Für eine Folge mit

Ein Ideal in heißt prim, falls integer ist.

Genau dann ist also prim, wenn und

...integer.

...ein Körper.

Ein Element heißt irreduzibel, falls für alle mit gilt: oder .

Ein Element heißt prim, falls das von ihm erzeugte Hauptideal ein Primideal ist.


ist also genau dann prim, wenn ist und für alle mit gilt: .

... ein Primideal.

Beweis: ein maximales Ideal in ist Körper ist integer ist prim nach Definition.

Ein Ideal in ist maximal, genau dann wenn ist ein Körper.

Ist eine Nullstelle von , so mit .


Beweis: (Leitkoeffizient ist Einheit in ) also Polynomdivision möglich. Dividiere durch durhc und erhalte Darstellung . Einsetzen von in gibt mit ein Nullstelle von ,


Also

Ring. . Ist der Leitkoeffizient von eine Einheit in , so gibt es mit und .

(a) ist integer
(b)

...genau einen Ringhomomorphismus und mit und .

(Satz 1.4)

Die Menge aller Primideal von heißt das (Zariski-)Spektrum von ,in Zeichen .

mit und .

Gibt es nicht!

... es gibt keine unendlichen Teilerketten in .

irreduzibel ist.

vorsicht

Sind Ringe und der Ringhomomorphismus von nach .

Dann ist ein Ideal in
und ist isomorph zu


Klar, falls surjektiv, ist also ist isomorph zu

Ist folgende Abbildung ,

Zu einer Operation heißt der Stabilisator.



Zusammenhang mit Bahn: Es existiert Bijektion zwischen und mit . Ist wohldefiniert.

Der Kern einer Gruppenoperation auf ist definiert als . Falls der Kern nur die Einheit enthält, heißt die Operation treu.