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Alle Oberthemen / Mathematik / Integralrechnung

Mathe Integralrechnung (23 Karten)

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Untersumme

b ist die obere Grenze Integral
a ist die unter Grenze Integral

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Obersumme

b ist die obere Grenze Integral
a ist die unter Grenze Integral

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Bedeutung vom Grenzwert der Ober- und Untersumme
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Stammfunktion
sei f(x) gegeben dann ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), wenn gilt:
F'(x) = f(x)

Die Stammfunktion ist nicht eindeutig:
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Allgemeine Integrationsformel
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Erster Flächensatz
sind die zwischen a und b liegende Nullstellen einer integrierbaren Funktion f, so gilt für die Fläche A unter der Funktion f, die durch die Gerade x=a und x=b begrenzt wird.
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Zweiter Flächensatz
sind f und g zwei integrierbare Funktionen mit als Schnittpunkte der beiden Graphen so gilt für die eingeschlossene Fläche:




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Rotationskörper
Dreht sich das vom Graphen der Funktion f(x), der x-Achse und den vertikalen Gerade x=a und x=b eingeschlossene Flächenstück um die x-Achse, entsteht ein von zwei parallelen Ebene begrenzter Rotationskörper.

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Mantelfläche eines Rotationskörpers


Herleitung
Umfang einer "einzelnen" Scheibe des Rotationsköpers
Bogenmaß:
Formeln zusammenführen
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Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung
Für eine von [a;b] stetige Funktion f gilt:

  • Die Integralfunktion c,x in [a;b] ist differenzierbar
  • Die Ableitung der Integralfunktion ist die Integrandenfunktion: I'(x)=f(x)
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Bogenlänge
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Regel zu Stamm- und Integralfunktion
  • Jede Integralfunktion von f über [a;b] ist auch auf [a;b] eine Stammfunktion 
  • Wenn eine Stammfunktion F von f mindestens eine Nullstelle in [a;b] besitzt, dann ist F eine Integralfunktion von f über [a;b].
  • Wenn eine Stammfunktion F von f keine Nullstelle in [a;b] besitzt, dann ist F keine Integralfunktion von f über [a;b].
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Unbestimmtes Integral
Die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f heißt unbestimmtes Integral von f und wird mit bezeichnet.
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Symmetrie von Integralfunktion
gegeben ist die Funktion f(x) und die zugehörige Integralfunktion I(x)
  • Wenn f(x) symmetrisch bzgl. eines Punkts ist, dann ist I(x) symmetrisch bzgl. der Achse . Liegt das Symmetriezentrum von f nicht auf der x-Achse dann weist I(x) keine Symmetrie auf.
  • Wenn f(x) symmetrisch bzgl. der Achse ist, dann ist I(x) symmetrisch bzgl. des Punktes
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Monotonie von Integralfunktionen
Eine Integralfunktion
  • steigt über dort streng monoton, wo f(x) positiv ist -> der Graph verläuft oberhalb der x-Achse
  • fällt über dort streng monoton, wo f(x) negativ ist -> der Graph verläuft unterhalb der x-Achse
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Extrema von Integralfunktionen
Eine Integralfunktionen:
  • besitzt dort relative Minima, wo die Integrandenfunktion Nullstellen ungerader Ordnung besitzt -> der Graph stößt von unten nach oben durch die x-Achse
  • besitzt dort relative Maxima, wo die Integrandenfunktion Nullstellen ungerader Ordnung besitzt -> der Graph stößt von oben nach unten durch die x-Achse


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Krümmungsverhalten von Integralfunktionen
Eine Integralfunktion
  • ist überall dort rechtssgekrümmt, wo f'(x) negativ ist -> der Graph der Integrandenfunktion fällt also streng monoton.
  •   ist überall dort linkssgekrümmt, wo f'(x) positiv ist -> der Graph der Integrandenfunktion steigt also streng monoton.
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Wendepunkte von Integralfunktionen
Eine Integralfunktion hat dort Wendepunkte, wo die Integrandenfunktion relative Extrema aufweist.
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Uneigentliche Integrale 1.Art
Eine oder beide Integrationsgrenzen nehmen beliebig große Wert an.

1.Fall


2.Fall


3.Fall

c ist eine beliebige, aber fest reelle Zahl
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Uneigentliche Integrale 2.Art
Es liegen endliche Integrationsgrenzen vor, jedoch strebt die Integrandenfunktion an den Integrationsgrenzen ins Unendlich (z.B. Polstellen)

1.Fall Funktion ist im geschlossen Intervall [a;b[ integrierbar


2.Fall Funktion ist im geschlossen Intervall ]a;b[ integrierbar

a besitzt z.B. eine Polstelle
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Extremwertaufgaben - Vorgehensweise
1. Variable/ Größe feststellen die zu maximieren bzw. zu minimieren ist
2. Nebenbedingungen aus dem Text herauslesen und in Verbindung mit der Variable der Zielfunktion bringen. Wenn es im Text n Variablen gibt, dann wird es n-1 Nebenbedingung geben -> n-1 Gleichungen mit n Unbekannten
3. Gleichung mit einer einzigen Variable aufstellen und sinnvollen Definitionsbereich festlegen
4. Bestimmen der absoluten Maxima bzw. Minima -> Randextrema
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Exponentielles Wachsen oder Abnehmen

Wachsen, wenn k> 0
Abnahme, wenn k<0
a ist der Anfangswert -> (0|a)
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Beschränktes Wachstum
Funktion
steigt auf R immer streng monoton
besitzt den Anfangswert (0|)
Grenzwert p
Kartensatzinfo:
Autor: JamesBond007
Oberthema: Mathematik
Thema: Integralrechnung
Veröffentlicht: 07.11.2013
Tags: Mathe, Abitur, Hessen
 
Schlagwörter Karten:
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