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Alle Oberthemen / Mathematik / Algebra

Algebra III (65 Karten)

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Gradregeln (Ploynome)
Für



falls integer, so gilt Gleichheit
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Zerfällungskörper
Sei . Eine endliche Erweiterung heißt ein Zerfällungskörper von , falls über in Linearfaktoren zerfällt, etwa
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Wurzelkörper
Ist irreduzibel und ist eine Erweiterung, für die ein mit und existiert, so heißt ein Wurzelkörper.

Gesehen: ist ein Wurzelkörper.

Eine Erweiterung heißt ein Wurzelkörper von über , falls mit und
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Körpererweiterung
Sei Körper und ein Teilkörper.

Man schreibt oft oder " über " und nennt ein Körpererweiterung.

Man betrachte als -VR. Die Dimension entspricht dem Grad der Körpererweiterung.
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Endliche Körpererweiterung
Die Körpererweiterung heißt endlich, falls ihr Grad endlich ist.
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Ein nichttrivialer kommutativer Ring mit enthält als einzige Ideale und gdw...
ein Körper ist.
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Ist integer, ist mit maximal, dann
irreduzibel.
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In welcher Art Ring gilt, irreduzibel, gdw. maximal?
In integeren hauptidealringen.
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Kreisteilungspolynom
Man setzt . Es heißt das -te Kreisteilungspolynom.


Ist eine Primzahl, so ist ein Eisensteinpolynom, also irreduzibel.
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Was ist und wovon ist sie der Durchschnitt?
Die Menge ist genau der Durchschnitt aller Primideale.
Insbesondere ist ein Ideal in .

Korollar 3.11
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Einheitswurzel
Ring und natürliche Zahl mit . Ein heißt -te Einheitswurzel, falls eine der folgenden äquivalten Bedingungen erfüllt sind:

(a) ist Nullstelle des Polynoms
(b) Es ist

- ist , so heißt primitiv.
- ist Element der Einheitengruppe, insbesondere bilden alle -ten Einheitswurzeln eine Untergruppe der Einheitengruppe.
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Körperweiterung
Sei ein Körper mit einem Teilkörper von , so nennt man eine Körpererweiterung.

heißt der Grad der Erweiterung.
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Der Grad einer Erweiterung mit Zwischenkörper ist multiplikativ, das heißt:
Ist so ist der Grad
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-Homomorphismus (Definition)
Für zwei Körpererweiterungen ist eine Abbildung (Ringhomomorphismus) ein -Homomorphismus.
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Kriterium von der Teilbarkeit der Konstanten und des Leitkoeffizienten
Sei und eine Nullstelle in (). Dann ist mit
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Eisensteinkriterium
faktoriell, . . Gibt es ein prim in mit teilt nicht , teilt und teilt nicht , dan ist irreduzibel in .
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Lemma von Gauß
Für gilt .
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Was folgt insbesondere aus dem Gauß'schen Lemma?
Es folgt: Falls primitiv, so auch .
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Eisensteinkriterium (Satz 5.12)
faktoriell, . Sei . Gibt es ein Primelement von mit für und , so ist irreduzibel in .
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Angenommen mithilfe von Korollar 5.6 finden sich keine Nullstellen von über , ist dann irreduzibel über ?
Nein, das folgt nicht unbedingt.
Es hilft nur zu erfahren, ob es reduzibel ist.
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Wann sind Ideale Maximal?
Ein Ideal in ist maximal, wenn erstens gilt, dass für alle Ideale mit entweder oder gilt.

Zweitens, wenn der Faktorring ein Körper ist.
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Beweise Körper, gdw. maximal.
Beweis:
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Wann gilt, dass mit maximal, so ist irreduzibel?
Die Voraussetzung ist integere und reicht schon aus.
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Wann gilt mit maximal, gdw. irreduzibel.
Dazu muss ein nullteilerfreier Hauptidealring sein.

Beweis:
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Definition von Inhalt eines Polynoms
faktorieller Ring, .

Für ein Polynom gilt, der aller Koeffizienten von (Der ist damit aus ).

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Was ist ein primitives Polynom?
Ein Polynom heißt primitiv, wenn der Inhalt assoziiert zu ist, also .

Bedeutet: Die Koeffizienten in dem Polynom sind Teilerfremd.
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Liegt jedes primitive Polynom in ?
Nein, in .
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Was gilt in Polyomringen über Körpern in Bezug auf die Primitivität der Elemente?
Ist Körper, so ist jedes Polynom primitiv.
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Welcher Ringtyp liegt dem Lemma von Gauß zugrunde?
Für das Lemma von Gauß wird faktoriell und betrachtet.
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Sind und Ringhomomorphismen, ist...
...ebenfalls ein Ringhomomorphismus
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Für jeden Ring gibt es genau einen Ringhomomorphismus
nämlich
(für alle ) -mal.
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Jedes Ideal in ist unter und abgeschlossen, aber...
... ist nur dann ein Teilring von , wenn ist.
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Für jeden Ringhomo ist der Kern...
...ein Ideal in .

Beweis: Seien und . Also . Mit ist , also .

Additivität klar.
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Hauptidealring
heißt Hauptidealring, falls integer und jedes Ideal in ein maximales Ideal ist.
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In was lassen sich Elemente eines Hauptidealringes eindeutig zerlegen?
In irreduzible Elemente. Theorem 2.11, Beweis auf seleber Seite im Skript BII.
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Stets gilt: prim
irreduzibel.


(Lemma 4.2)
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Norm
Für einen Ring vom Typ ist die Norm eine Abbildung

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Faktorieller Ring
Ein Ring heißt faktoriell, wenn integer ist und die äquivalenten Eigenschaften aus Theorem 4.5 besitzt, also:

(i) Jede Nicht-Einheit in ist ein (endliches) Produkt von Primelementen
(ii) Jede Nicht-Einheit in ist ein (endliches) Produkt aus irreduziblem Elementen und diese Darstellung ist Eindeutig bis auf Reihenfolge und Assoziertheit.
(iii) Es gibt keine unendlichen Teilerketten in und je zwei Elemente in besitzen einen .
(iv) Es gibt keine unendlichen Teilerketten in und jedes irreduzible Element ist prim.
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Satz von Lagrange
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Zentrum
Das Zentrum einer Gruppe i.Z. ist die Menge aller derjenigen für die gilt: verknüpft mit ist gleich verknüpft mit für alle , also .
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Nilpotent
Ein nilpotentes Element Ring ist ein Element, für das es ein gibt, so dass für alle gilt .

Man nennt den Nilpotenzindex.
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Kette
Sei Menge, sei .

heißt eine Kette, falls für je zwei Elemente aus , dass das eine Element Teilmenge des anderen oder umgekehrt ist.

Also: Falls
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Was impliziert der Ringhomomorphismus mit den Spektren ?
impliziert einen Homomorphismus in Gegenrichtung mit wobei .
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unendliche Teilerkette
Für eine Folge mit
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Primideal
Ein Ideal in heißt prim, falls integer ist.

Genau dann ist also prim, wenn und
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ein Primideal in , dann ist ...
...integer.
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ein maximales Ideal in , dann ist ...
...ein Körper.
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Irreduzibel
Ein Element heißt irreduzibel, falls für alle mit gilt: oder .
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Prim
Ein Element heißt prim, falls das von ihm erzeugte Hauptideal ein Primideal ist.


ist also genau dann prim, wenn ist und für alle mit gilt: .
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Jedes maximale Ideal von ist...
... ein Primideal.

Beweis: ein maximales Ideal in ist Körper ist integer ist prim nach Definition.
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Maximales Ideal
Ein Ideal in ist maximal, genau dann wenn ist ein Körper.
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Satz von Ruffini
Ist eine Nullstelle von , so mit .


Beweis: (Leitkoeffizient ist Einheit in ) also Polynomdivision möglich. Dividiere durch durhc und erhalte Darstellung . Einsetzen von in gibt mit ein Nullstelle von ,


Also
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Satz von der Polynomdivision mit Rest über Ringen
Ring. . Ist der Leitkoeffizient von eine Einheit in , so gibt es mit und .
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Korollar 1.3: Ist integer, so gilt:
(a) ist integer
(b)
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Ring. Ist und , so gibt es...
...genau einen Ringhomomorphismus und mit und .

(Satz 1.4)
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Zariski-spektrum
Die Menge aller Primideal von heißt das (Zariski-)Spektrum von ,in Zeichen .
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Ringhomomorphismus
mit und .
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Euklidischer Algorithmus über einem Ring
Gibt es nicht!
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Je zwei Elemente in haben einen , bedeutet...
... es gibt keine unendlichen Teilerketten in .
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Ein Hauptideal ist maximal, genau dann wenn
irreduzibel ist.

vorsicht
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Homomorphieatz (Ringe)
Sind Ringe und der Ringhomomorphismus von nach .

Dann ist ein Ideal in
und ist isomorph zu


Klar, falls surjektiv, ist also ist isomorph zu
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Die Möbiusfunktion
Ist folgende Abbildung ,
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Stabilisator
Zu einer Operation heißt der Stabilisator.



Zusammenhang mit Bahn: Es existiert Bijektion zwischen und mit . Ist wohldefiniert.
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G-Bahn
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Kern (Gruppenoperationen)
Der Kern einer Gruppenoperation auf ist definiert als . Falls der Kern nur die Einheit enthält, heißt die Operation treu.
Kartensatzinfo:
Autor: attila.rufius
Oberthema: Mathematik
Thema: Algebra
Veröffentlicht: 01.03.2010
 
Schlagwörter Karten:
Alle Karten (65)
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