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All main topics / Mathematik / Analytische Geometrie

Mathe Analytische Geometrie (36 Cards)

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Gleichheit von Vektoren
Zwei Vektoren sind dann genau gleich, wenn sie die durch ein und denselben Pfeil beschrieben werden können. Genau dann stimmen die zugehörigen Pfeilklassen überein.
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Definition Vektor
Unter einem Vektor versteht man die Menge aller Pfeile, die gleich lang zueinander parallel und gleich orientiert sind. Ein einzelner Pfeil auf dieser Menge heißt Repräsentant des Vektors.
Ein Vektor ist ein Zahlentripel aus drei Koordinaten:
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Addition zweier Vektoren
Dies bedeutet die Nacheinanderausführung der jeweiligen Verschiebungen.
Das Resultat lässt sich wieder als Vektor beschreiben.
Praxis: Addition der Koordinaten
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Welche Gesetze gelten bei der Addition von Vektoren?
Kommutativgesetz a+b=b+a
Assoziativgesetz (a+b)+c= a+(b+c)
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Subtraktion zweier Vektoren
Man subtrahiert zwei Vektoren von einander, indem man den entgegensetzten Vektor zu dem anderen Vektor dazu addiert. 
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Nullvektor
Der Vektor, der jeden Punkt auf sich selbst abbildet.
Länge null
keine Richtung
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Vervielfachung eines Vektors

wenn r>0 Vektor gleichgerichtet
wenn r<0 Vektor ist entgegengesetzt gleichgerichtet
wenn r=0 -> Nullvektor
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0
Betrag eines Vektors
ist gleich der Strecke
Wenn dann wird dieser als Einheitsvektor bezeichnet.

Für eine Strecke gilt:

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Parallelität eines Vektors
Eine Vektor ist genau dann zu einem Vektor  parallel, wenn es eine reelle Zahl r oder eine reelle Zahl s gibt, sodass gilt
und
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Linearkombination eines Vektors
Der Vektor ist eine Linearkombination der Vektoren und , wenn es reelle Zahlen und gibt, sodass gilt.
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Lineare Unabhängigkeit
Die Vektoren sind linear unabhängig, wenn sich kein Vektor von diesen als Linearkombination darstellen lässt.
Lässt sich wenigstens ein Vektor der Vektoren mit einer Linearkombination darstellen, so bezeichnet man die Vektoren linear abhängig.
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0
Lineare Unabhängigkeit überprüfen
sind linear unbhängig, wenn aus

stets
= 0 folgt. 

Wenn allerdings nicht alle  gleich null sind, dann sind    linear abhängig.
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Skalarprodukt
und sind zwei Vektoren so nennt man das Skalarprodukt
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Orthogonalität zwischen zwei Vektoren
Wenn zwei Vektoren senkrecht aufeinander stehen, so ist das Skalarprodukt = 0.
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Berechnung des Skalarprodukts

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0
Geradengleichung
Die Gerade g, die durch den Punkt mit dem Stützvektor und dem Richtungsvektor bestimmt ist, kann durch die Gleichung beschrieben werden.
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Parallelität von Geraden
Zwei Geraden und der Ebene oder des Raumes sind genau dann parallel zueinander, wenn die zugehörigen Richtungsvektoren und linear abhängig (also parallel) sind.
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0
Schnittwinkel zweier Geraden
  • Berechnung mit Skalarprodukt
  • Schnittwinkel muss zwischen sein

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0
Gleichungssystem - zweier Geraden
keine Lösung: Parallelität überprüfen (lineare Abhängigkeit)-> falls nein -> und sind windschief

eine Lösung: es gibt einen Schnittpunkt S -> Spezialfall Orthogonaler Schnittpunkt

unendliche viele Lösungen: und sind gleich
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Windschiefe Gerade
- kein Schnittpunkt
- lineare Unabhängigkeit der Richtungsvektoren
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Ebenengleichung Parameterform
ist
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Normalenvektor
Einen zu den Spannvektoren und einer Ebene orthogonalen Vektor nennt man Normalenvektor von . Der zugehörige Einheitsvektor heißt Normaleneinheitsvektor und wird mit  bezeichnet.
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Hesseche Normalenform der Gleichung einer Ebene im Raum
Eine Ebene , die durch den Punkt und ihren Normaleneinheitsvektor und den Normalenvektor bestimmt ist, kann durch die Gleichung beschrieben werden.
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Koordinatenform einer Ebene im Raum



der ist in diesem Fall der Stützvektor der Ebene.
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Achsenabschnittsform einer Ebene



Beispiel:


Jede Ebene in Koordinatenform lässt sich so schnell in die Achsenabschnittsform umwandeln.
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Lagebeziehung Gerade - Ebene LGS
LGS
  • hat genau eine Lösung -> g schneidet E in genau einem Punkt Richtungsvektoren von g ist unabhängig von den Richtungsvektoren der Ebene und
  • hat keine Lösung -> g ist parallel zu E -> Richtungsvektoren von g und E sind linear abhängig
  • hat unendlich viele Lösungen -> g liegt in E -> Richtungsvektoren von g und E sind linear abhängig
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Lagebeziehung Ebene - Ebene LGS
LGS
  •     hat keine Lösung -> sind linear abhängig
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Schnittgerade von zwei Ebene händisch bestimmen
1. LGS aufstellen -> beide Ebenengleichungen gleichsetzen
2. einen beliebigen Parameter für eine Variable einführen
3. Gaußsches Eliminationsverfahren
4.  Den Parameter für die Variable in die Ebenengleichung und eine weitere Lösung einsetzten

Beispiel



Für wurde der Parameter t eingeführt
Ebenengleichung
Für und einsetzten







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Schnittgerade von zwei Ebenen mit GTR bestimmen
1. LGS/ Matrix in GTR eingeben

2. 2nd Matrix - RREF([A]

3. Lösung aufstellen
Daraus folgt:
                      
                      
                      
                       t wird als Parameter für eingeführt

Für und einsetzen
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Schnittwinkel von zwei Ebenen
  • Normalenvektoren der beiden Ebenen
  • mithilfe des  Skalarproduktes den Winkel ausrechnen
  • Schnittwinkel muss zwischen sein
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0
Schnittwinkel von Gerade und Ebene
  • Normalenvektor von der Ebene
  • Richtungsvektor der Gerade
  • mithilfe des Skalarproduktes den Winkel ausrechnen
  • von den Winkel abziehen s. Skizze
  • Schnittwinkel muss zwischen sein

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Normierte  Normalenvektor
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Abstand Ebene Punkt
der Vektor muss natürlich in der Stützvektor der Ebene sein


Beispiel:


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Abstand Ebene Gerade
  • funktioniert nur bei Parallelität
  • Abstandsberechnung über hessesche Normalenform
  • als "Abstandpunkt" kann man z.B. den Stützvektor wählen
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Abstand Ebene - Ebene
  • nur bei Parallelität
  • möglicher "Abstandpunkt" Stütsvektor der anderen Ebene
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Abstand Gerade - Gerade
  • bei Parallelität kann man mit dem Stützvektor der anderen Gerade den Abstand berechnen -> wird zum "Abstandspunkt" der Geraden

Geraden windschief zu einander:
  • zwei Ebenengleichungen aufstellen
  • Richtungsvektoren der Ebene sind die Richtungsvektoren der zwei Gerade
  • Stützvektor ist einmal der von und einmal von *Abstand Ebene berechnen
Flashcard set info:
Author: JamesBond007
Main topic: Mathematik
Topic: Analytische Geometrie
Published: 07.11.2013
Tags: Mathe, Abitur, Hessen
 
Card tags:
All cards (36)
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