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• Georg Rasch, dänischer Mathematiker
• Fischer (Uni Wien) hat dieses Modell entdeckt und hat es in die Psychologie eingeführt – dies begründete die methodischen Schwerpunkte der Uni Wien. (Forscherkreis um Fischer: Gittler, Kubinger,…)

Georg Rasch hat als Itemcharakteristik die logistische Funktion gewählt.
(U = Unbekannte)

Keine Sprungfunktion, sondern ein kontinuierlicher Wachstum der Wahrscheinlichkeit.

Egal welche Zahl für U eingesetzt wird – das Ergebnis ist immer ein Wert zwischen 0 und 1.
+ ∞ = 1
- ∞ = 0
Mit höherer Personenfähigkeit wird die Lösungswahrscheinlichkeit kontinuierlich höher. = Streng monotone Funktion


U wird von Rasch definiert als Personenfähigkeit (xi) minus der Itemschwierigkeit (sigma/). (Achtung ist hier keine Standardabweichung).

a) Wenn die Personenfähigkeit steigt (bei gleichbleibender Itemschwierigkeit).

b) Wenn die Itemschwierigkeit sinkt (bei gleichbleibender Personenfähigkeit).

Der Parameter U soll nun mit den für das Modell wesentlichen
Kennwerten (der Personenfähigkeit und der Itemschwierigkeit) in
Verbindung gebracht werden.

Somit ist die Itemcharakteristik gegeben durch


Demnach haben Personen bei Items, deren Schwierigkeit der Personenfähigkeit entsprechen, eine Lösungswahrscheinlichkeit von p(+|v,i) = 0.5. Ist die Personenfähigkeit geringer als das Item schwierig ist p(+|v,i) < 0.5. Ist die Person fähiger als das Item schwierig, ist p(+|v,i) > 0.5.

Personen haben bei Items, deren Schwierigkeit der Personenfähigkeit entsprechen, eine Lösungswahrscheinlichkeit von p(+|v,i) = 0.5. Ist die Personenfähigkeit geringer als das Item schwierig ist p(+|v,i) < 0.5. Ist die Person fähiger als das Item schwierig, ist p(+|v,i) > 0.5.


1 / 1+1 = 0,5 (d.h. die Lösungswahrscheinlichkeit liegt bei 50%)

a) Die Sprungstelle markiert die Schwierigkeit des Items.

b) Wenn die Person gleich fähig ist wie das Item schwierig: die Lösungswahrscheinlichkeit liegt bei 50%.

In der Graphik (schwarze Linie) – Itemschwierigkeit 0 (= Personenfähigkeit 0) (da beide Werte mit dem gleichen Maß gemessen werden)

Was ist das leichteste Item? Grün.

a) Hauptstadt Italiens?
JA – weil entweder ist die Antwort richtig oder falsch (man bewertet nicht ob etwas „richtiger“ ist, z.B. Florenz ist nicht richtiger als Paris).

b) Sind die Fragen in der Millionenshow dichotome Items?
JA – denn es hat nichts mit der Anzahl der Antwortalternativen zu tun – sondern nur damit ob die Antwort richtig oder falsch.

c) MC-Klausuren mit Teilpunkten?
NEIN, da Fragen auch als teilweise richtig anerkannt werden.

d)MC-Klausuren ohne Teilpunkte?
JA, weil die Antwort auf diese Frage nur richtig oder falsch sein kann.

Dichotomes Item != Zwei Antwortalternativen (= dichotomes Antwortformat)!!

Dadurch ist es der Fall, dass die Lösungswahrscheinlichkeit bei einem dichotomen Item nicht zwangsläufig 50% ist.

Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person v das Item i nicht
löst ist gegeben durch

Die Kurve der Wahrscheinlichkeit ein Item zu Lösen und ein Item nicht zu lösen, verlaufen gegenläufig.

Dies eine weitere Art der Modelldarstellung des dichotom logistischen Modells von Rasch:

Diese vier Forderungen umfassen also die Forderung nach

• spezifischer Objektivität von Vergleichen (Punkt 1, 2) und
• erschöpfenden (suffizienten) Statistiken (Punkt 3, 4).

Achtung: Spezifische Objektivität von Vergleichen != Testgütekriterium Objektivität

1. Das Verhältnis der Schwierigkeiten zweier Items soll unabhängig von der gewählten Stichprobe sein.
Wenn 2 Items die gleiche Eigenschaft messen, dann muss der Unterschied der Schwierigkeit im Verhältnis bei den Populationen gleich sein
2. Das Verhältnis der Fähigkeiten zweier Personen soll unabhängig davon sein, welche Aufgaben den Personen zur Ermittlung der Personenfähigkeiten vorgegeben wurden.
Wenn Items die gleiche Eigenschaft erfassen, dann muss unabhängig davon welche Items welcher Population vorgegeben werden, muss das Verhältnis der Fähigkeit gleich bleiben.(Anlehnung: 10 Kilo sind schwerer als 5 Kilo, unabhängig davon wer das Gewicht hebt.)
3. Die Anzahl der gelösten Aufgaben soll die gesamte Information der Daten über die Fähigkeit der Person beinhalten.
Wenn Personen den gleichen Test erhalten und gleich viele Punkte erhalten, dann kann man sagen „Die Personen sind gleich fähig.“
4. Die Anzahl an Personen, die ein Item lösen können, soll die gesamte Information der Daten über die Schwierigkeit des Items beinhalten.
Es darf für die Itemschwierigkeit nicht von Bedeutung sein, welche Person welches Item gelöst hat. Es ist nur noch relevant wie viele Items eine Person löst und wie viele Items insgesamt gelöst wurden.

Diese Eigenschaften können mathematisch bewiesen werden.

Aus der Forderung nach spezifischer Objektivität folgt, dass sich die IC Kurven nicht schneiden dürfen. Die IC Kurven müssen im Modell von Rasch also dieselbe Steigung (=Diskrimination) haben.

Dadurch, dass sie sich nie schneiden dürfen, müssen die Itemcharakteristikkurven parallel sein.

Diskriminationsfähigkeit: Ist die Eigenschaft, wie schnell die Itemcharakteristikkurve ansteigt.

• Je flacher der Anstieg eines Items ist, desto geringer ist die Diskriminationsfähigkeit
• Gutmans-Sprungfunktion hat eine 100%ige Diskriminationsfähigkeit.

Rasch fordert also Items mit der gleichen Diskriminationsfähigkeit.

Die Existenz der erschöpfenden Statistiken kann anhand der Likelihood der Daten gezeigt werden.

Die Likelihood der Daten ist die Wahrscheinlichkeit, EXAKT die erhobenen Daten zu erhalten.

Likelihood ist nur noch von den Randsummen (Anzahl der gelösten Items einer Person und Anzahl wie oft ein Item gelöst wurdE) abhängig und nicht von den konkreten Antworten einer Person.

Die Existenz der erschöpfenden Statistiken kann anhand der Likelihood der Daten gezeigt werden. Die Likelihood der Daten ist die Wahrscheinlichkeit, EXAKT die erhobenen Daten zu erhalten.

Wie sehen diese Daten im Modell von Rasch aus?

Tabelle: Person 1 hat Item 1 falsch beantwortet (0) und Item 2 richtig beantwortet (1), etc.

Gehen wir nun davon aus, wir können die Antwort, die eine
Person v auf ein Item i gegeben hat, in eine
Wahrscheinlichkeit umwandeln, mit der Person v die
gegebene Antwort auf Item i gibt. Dadurch erhalten wir:

Jetzt muss für jede Person und Item berechnet werden wie wahrscheinlich es ist, dass diese Person genau dieses Item löst/nicht löst = Antwortmuster einer Person
Geht man weiters davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit der
Lösung von Item i durch Person v unabhängig davon ist,
welche und wie viele Items Person v zuvor gelöst hat (=lokal
stochastische Unabhängigkeit), so kann die
Wahrscheinlichkeit, dass Person v ihr Antwortmuster zeigt,
berechnet werde durch:

(nicht stochastische Unabhängigkeit wenn aufeinander aufbauende Aufgaben oder eine Person lernt zwischen den Aufgaben (z.B. durch Rückmeldung über Ergebnis))

Geht man nun noch davon aus, dass die von den Personen
erzielten Antwortmuster unabhängig sind, so ist die
Wahrscheinlichkeit die gegebenen Daten zu erhalten
(=Likelihood der Daten) gegeben durch:

Sind die Daten voneinander unabhängig? Ja, wenn sie nicht voneinander abschauen (ev. auch problematisch bei mündl. Prüfungen, Partnerarbeiten, Online-Testungen, Person füllt Test mehrfach aus)


Je nach Variante muss die entsprechende Variante gewählt werden – entweder der 1. Term oder der 2. Term. Dies wird automatisch erreicht durch avj bzw. 1-avj …. Da bei richtigen Antworten mit 1 kodiert werden erhält man beim 1. Term bei einer richtigen Antwort den Term hoch 1 und dem 2. Term mit hoch 0 und so wird bei einer richtigen Antwort z.B. nur der 1. Term verwendet.
In der Formel kommt v und i nicht weiter vor – d.h. für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit genau diese konkrete Daten zu erhalten (Likelihood) muss nicht die konkrete Antwort der Person gewusst werden = Beweis für die Existenz der erschöpfenden Statistik.

(Anm: muss vermutlich nicht so im Detail gewusst werden)

Im dichotom logistischen Modell von Rasch können Personen zwei unterschiedliche Antworten geben.
Entweder sie antworten korrekt (1) oder nicht (0). Die Wahrscheinlichkeiten hierfür sind:

Je nach gegebener Antwort, muss die entsprechende Variante gewählt werden. Dies wird erreicht durch

Je nach Variante muss die entsprechende Variante gewählt werden – entweder der 1. Term oder der 2. Term. Dies wird automatisch erreicht durch avj bzw. 1-avj …. Da bei richtigen Antworten mit 1 kodiert werden erhält man beim 1. Term bei einer richtigen Antwort den Term hoch 1 und dem 2. Term mit hoch 0 und so wird bei einer richtigen Antwort z.B. nur der 1. Term verwendet.

• Rohscore von Person v: Wieviele Items hat die Person gelöst?
• Absolute Lösungshäufigkeit von Item i: Wie oft wurde dieses Item gelöst?
• In der Formel kommt v und i nicht weiter vor – d.h. für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit genau diese konkrete Antwort zu erhalten (Likelihood) muss nicht die konkrete Antwort der Person gewusst werden = Beweis für die Existenz der erschöpfenden Statistik.

Demnach wird allen Personen, die einem Test mit den selben Items dieselbe Anzahl gelöster Aufgaben erzielen, derselbe Fähigkeitsparameter zugeordnet.

Die Erkenntnis, dass die erschöpfenden Statistiken nur gelten, wenn die Items den Anforderungen des Modells von Rasch (RM) entsprechen, hat weitreichende Konsequenzen.

U.a. bedeutet es, dass die im Rahmen der klassischen Testtheorie vorgenommene Summenbildung zur Gewinnung eines Rohscores nur fair ist, wenn die Items dem RM entsprechen.

• Rohscore von Person v: Wieviele Items hat die Person gelöst?
• Absolute Lösungshäufigkeit von Item i: Wie oft wurde dieses Item gelöst?
• In der Formel kommt v und i nicht weiter vor – d.h. für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit genau diese konkrete Antwort zu erhalten (Likelihood) muss nicht die konkrete Antwort der Person gewusst werden = Beweis für die Existenz der erschöpfenden Statistik.

Demnach wird allen Personen, die einem Test mit den selben Items dieselbe Anzahl gelöster Aufgaben erzielen, derselbe Fähigkeitsparameter zugeordnet.

Die Erkenntnis, dass die erschöpfenden Statistiken nur gelten, wenn die Items den Anforderungen des Modells von Rasch (RM) entsprechen, hat weitreichende Konsequenzen.

U.a. bedeutet es, dass die im Rahmen der klassischen Testtheorie vorgenommene Summenbildung zur Gewinnung eines Rohscores nur fair ist, wenn die Items dem RM entsprechen.

Die Existenz der erschöpfenden Statistik zeigt die Fairness des Rasch-Modells, d.h. es kommt nicht darauf an welche Items gelöst wurden, sondern nur wie viele Aufgaben gelöst wurden.

Die Schätzung der unbekannten Parameter erfolgt im Rasch Modell üblicherweise mit Hilfe der Maximum-Likelihood-Methode.
Hierbei werden die unbekannten Parameter so geschätzt, dass die Likelihood der Daten maximal wird.

Die Parameterschätzung benötigt man für die Schätzung der Personenfähigkeit bzw. der Itemschwierigkeit.

Um zu überprüfen, ob die vorliegenden Items dem dichotom logistischen Modell von Rasch entsprechen, können verschiedene Modelltests herangezogen werden.

Dazu gehören z.B.

• die grafische Modellkontrolle,
• der z-Test nach Wald,
• der bedingte Likelihood Quotienten Test nach Andersen und
• der Martin Löf Test.

Bei den Modellkontrollen wird überprüft ob/welche Item nicht das Rasch-Modell erfüllen.

Es werden solange Items aus dem Test entfernt bis die Modelltests nicht mehr signifikant sind.

Müssen mehr als in etwa 20% der Items entfernt werden, sollten die verbleibenden Items an einer neuen Stichprobe abermals geprüft werden.

Für die grafische Modellkontrolle werden die Personen in zwei Gruppen eingeteilt und die Itemschwierigkeitsparameter in jeder Gruppe extra geschätzt.

Für die Einteilung in die zwei Gruppen können zwei Arten von Kriterien verwendet werden

• intern (= Rohscore) oder
• extern (Eigenschaften der Personen z.B. Altersgruppen,
Geschlecht, Gruppenzugehörigkeit…).

Dann wird für die Itemschwierigkeitsparameter in jeder Gruppe extra geschätzt.

Für den Fall, dass ein Item dem Modell von Rasch entspricht, sollten die Schätzungen in beiden Stichproben in etwa gleich groß sein (=spezifische Objektivität).

Trägt man die Items in einem Koordinatensystem mit
- x=Schätzung in Gruppe 1 und
- y= Schätzung in Gruppe 2, so sollten Items, die dem Modell von Rasch entsprechen, nahe der 45° Geraden liegen.



Da die geschätzten Itemschwierigkeitsparameter eindeutig bis auf additive Konstanten (bzw. die Itemleichtigkeitsparameter eindeutig bis auf multiplikative Konstanten) sind, muss sicher gestellt werden, dass die Itemparameter in beiden Stichproben gleichartig normiert sind.

Für Itemschwierigkeiten ist die „Summe 0“ Normierung zu empfehlen (d.h. die Summe aller Itemschwierigkeiten ist 0).

Wenn dies nicht der Fall ist, dann können die Items nachträglich normiert werden. Man berechnet sich den Mittelwert und zieht diese von der Itemschwierigkeit ab.



Für Itemleichtigkeiten sollte die „Produkt 1“ Normierung verwendet werden (d.h. das Produkt aller Itemleichtigkeiten ist 1).

(Modellkontrollen)

Beim z-Test nach Wald werden die in zwei Stichproben (A, B) erhobenen und normierten Itemschwierigkeitsparameter miteinander verglichen.

Ist der Betrag des z-Werts größer als der kritische z-Wert, ist das Ergebnis signifikant und das Modell von Rasch gilt für dieses Item nicht.

Da der z-Test pro Item erfolgt und demnach die Gefahr der Alpha Überhöhung gegeben ist, kann aus den z-Werten ein Globaltest für alle in einem Test enthaltenen Items berechnet werden.

Ist der -Wert größer als der kritische, ist das Ergebnis
signifikant und man muss zumindest das Item mit dem betragsmäßig größten z-Wert aus dem Test entfernen.

Dann muss der Test erneut durchgeführt werden.

Bei Likelihood Quotienten Tests (LQT) werden die Likelihoods zweier Modelle miteinander verglichen.


Die beiden Modelle müssen drei Bedingungen erfüllen

• Modell 1 muss ein echtes Obermodell von Modell 2 sein (d.h. dass Modell 2 durch Restriktionen von Parametern aus Modell 1 entsteht).
• Modell 2 darf nicht durch 0 setzen von Parametern entstehen.
• Modellgültigkeit von Modell 1 muss nachgewiesen sein.

Sind diese drei Bedingungen erfüllt, kann man den LQT in eine verteilte Prüfgröße umwandeln.


Beim bedingten LQT Test nach Andersen wird für Modell 1 angenommen, dass zwei (oder mehr) Gruppen von Personen unterschiedliche Itemparameter haben.

Bei Modell 2 wird davon ausgegangen, dass die Itemparameter in allen Gruppen gleich sind (= spezifische Objektivität).
Lässt sich kein Unterschied zwischen der Likelihood der beiden Modelle nachweisen(= nicht signifikantes Ergebnis), darf Modell 2 (und damit die Gültigkeit des RM) angenommen werden.

(Modellkontrollen)

Der Martin Löf Test basiert im Wesentlichen auf derselben Annahme wie der bedingte LQT von Andersen, jedoch werden nicht die Personen, sondern die Items in zwei Gruppen aufgeteilt. Demnach wird geprüft, ob die Schätzungen der Personenparameter in beiden Itemgruppen gleich sind.

Auch hier deutet ein signifikantes Ergebnis auf eine Verletzung der Annahmen des Rasch Modells bei zumindest einem Item hin.

Es werden solange Items aus dem Test entfernt bis die Modelltests nicht mehr signifikant sind.

Müssen mehr als in etwa 20% der Items entfernt werden, sollten die verbleibenden Items an einer neuen Stichprobe abermals geprüft werden.

Ein Test zur Erfassung von Raumvorstellung besteht aus 13 dichotomen Items. Es soll geprüft werden, ob die Items dem Modell von Rasch entsprechen. Als Teilungskriterien werden der Mittelwert und der Median des Rohscores herangezogen.




Grafische Darstellung:

Modellkontrolle:

Der Martin Löf Test basiert im Wesentlichen auf derselben Annahme wie der bedingte LQT von Andersen, jedoch werden nicht die Personen, sondern die Items in zwei Gruppen aufgeteilt. Demnach wird geprüft, ob die Schätzungen der Personenparameter in beiden Itemgruppen gleich sind.

Auch hier deutet ein signifikantes Ergebnis auf eine Verletzung der Annahmen des Rasch Modells bei zumindest einem Item hin.

Es werden solange Items aus dem Test entfernt bis die Modelltests nicht mehr signifikant sind.

Müssen mehr als in etwa 20% der Items entfernt werden, sollten die verbleibenden Items an einer neuen Stichprobe abermals geprüft werden.

Das LLTM geht auf Scheiblechner (1972) und Fischer (1972, 1973) zurück und stellt ein restriktiveres Modell als das dichotom logistische Modell von Rasch dar.

Die ursprüngliche Idee war es, die Schwierigkeit eines dem Modell von Rasch entsprechenden Items auf die Schwierigkeit jener kognitiven Fertigkeiten zurückzuführen, die aufgrund theoretischer Überlegungen im Vorfeld der Lösung des Items zugrunde liegen.



Zur Kontrolle der Gültigkeit des LLTM werden die laut LLTM geschätzten Parameter mit den aus dem dichotom logistischen Modell von Rasch mit Hilfe einer der bereits bekannten Modellkontrollen verglichen.

Der bekannteste Test, der auf dem LLTM basiert ist der Wiener Matrizen Test (WMT) von Formann und Piswanger (1979).

Abgesehen von der ursprünglichen Idee, kann das LLTM auch z.B. für den Vergleich von Gruppen, Positionseffekten, oder zur Modellierung des Einflusses von Lernprozessen (Veränderungsmessung) verwendet werden.

Das Partial Credit Model ist das Rasch Modell für ordinale Daten. Die dahinter liegende Idee ist eine Verallgemeinerung des dichotom logistischen Modells von Rasch. Für letzteres wurde gezeigt, dass es neben der IC Kurve für das Lösen des Items auch eine IC Kurve für das nicht Lösen eines Items gibt.

Hat man nun nicht nur zwei, sondern z.B. vier Kategorien, könnten die resultierenden IC Kurven folgendermaßen aussehen.

Dadurch wird für jeden Fähigkeitsparameter die Wahrscheinlichkeit der Antwort in Kategorie x modelliert.
Jene Stellen, ab denen eine andere Kategorie als wahrscheinlichste gilt, werden Schwellen genannt.
Prinzipiell können die Schwellen in jedem Item anders sein.
Da daraus eine sehr große Zahl an Parameter resultiert, können zusätzliche Annahmen getroffen werden, die zu unterschiedlichen Modellen führen. Diese sind

• das Ratingskalen Modell,
• das Äquidstanzmodell und
• das Dispersionsmodell.

Mittels das Partial Credit Modells kann geprüft werden, ob die Stufen eines Items tatsächlich rangskaliert sind. Die Ordnung der Antwortkategorien zeigt sich daran, dass die Schnittpunkte zweier benachbarter Kategorien „geordnet“ sind. Das bedeutet, dass z.B. der Übergang von Kategorie 0 auf 1 bei einer niedrigeren Personenfähigkeit erfolgt, als der Übergang von Kategorie 1 auf 2 usw.