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All main topics / Lineare Algebra I / Lineare Algebra

Lineare Algebra Grundlagen ITET-ETHZ (Basisjahr) (188 Cards)

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Wann ist ein lineares Gleichungssystem (LGS) konsistent?
Wenn alle 0 Zeilen der gegaussten Matrix = 0 sind ( bis = 0)
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Wann hat ein lineares Gleichungssystem mindestens eine Lösung?
  • r = m
  • r < m & konsistent
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Wann hat ein lineares Gleichungssystem genau 1 Lösung
r = n & konsistent
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Wann hat ein lineares Gleichungssystem unendlich Lösungen?
n - r > 0 r < n & konsistent
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Was hat und ist ein HLGS immer?
konsistent und triviale Lösung
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Wann hat ein HLGS nicht nur die triviale Lösung?
r < n
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Wann hat ein LGS für alle eine Lösung?
Wenn A eine quadratische Matrix ist die für Ax = 0 nur die triviale Lösung gibt.
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Was für eine Bedingung erfüllt eine symmetrische Matrix?
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Was für eine Bedingung erfüllt eine anti-symmetrische Matrix?
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Welche Bedingungen in der Dimension der Matrix müssen erfüllt sein, damit eine Multiplikation möglich ist?
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Erste Regel der Matrix Addition und Multiplikation
12
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Zweite Regel der Matrix Addition und Multiplikation
13
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Dritte Regel der Matrix Addition und Multiplikation
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Vierte Regel der Matrix Addition und Multiplikation
15
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Fünfte Regel der Matrix Addition und Multiplikation
16
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Sechste Regel der Matrix Addition und Multiplikation
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Siebte Regel der Matrix Addition und Multiplikation
Im Allgemeinen gilt
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Regeln der Transponierte
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Welche Eigenschaft hat eine reguläre / nicht singuläre Matrix?
Invertierbar
20
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Welche Eigenschaft hat eine nicht reguläre / singuläre Matrix?
nicht invertierbar
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Wann ist B eindeutig?
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Inversen Rechenregeln
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Eigenschaften invertierbarer (regulärer) Matrixen
  • ist lösbar
  • hat genau eine Lösung
  • hat nur die triviale Lösung
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Eigenschaften nicht-invertierbarer (singulärer) Matrixen
  • hat entweder keine oder unendlich viele Lösungen
  • hat unendlich viele Lösungen
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Eigenschaften einer orthogonalen Matrix
  • A ist invertierbar &
  • : C ist auch orthogonal wenn A und B orthogonal
  • Spalten und Zeilenvektoren sind normiert ()
  • Spaltenvektoren sind im rechten Winkel aufeinander
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Welche Eigenschaften benötigt eine Matrix, damit man ihre Determinante finden kann?
Sie muss quadratisch sein
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det(A) (A ist orthogonal)
±1
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Was passiert mit der Determinante wenn eine Zeile vertauscht wird?
Sie wechselt das Vorzeichen
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Was passiert bei der Addition eines vielfaches einer Zeile zur anderen mit der Determinante?
Sie bleibt unverändert
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Wie kann man die Determinante mit den Eigenwerten berechnen?
31
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0
Was gilt für die Determinante wenn eine ganze Zeile skalar multipliziert wird?
Man kann den Skalar aus der Matrix nehmen und ihn mit der Determinante der Matrix ohne skalaren Faktor multiplizieren und kommt auf das selbe Resultat.


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0
Was gilt für die Determinante wenn die ganze Matrix skalar multipliziert wird?
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Was ist die Determinante einer Matrix mit zwei gleichen Zeilen
0
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Was ist die Determinante einer Matrix mit einer Nullzeile oder Spalte?
0
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Bei welchen Matrizen ist die Determinante eine Multiplikation der Werte ihrer Diagonalen?
Bei einer L, R und diagonal Matrix
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Was ist die det(-A) für und n ungerade?
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Was ist die det(-A) für und n gerade?
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Was stellt die Determinante einer Matrix dar?
Fläche von und
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Was stellt die Determinante einer Matrix dar?
Das Volumen das von , und aufgespannt wird ( Pyramidenvolumen)
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Was ist die Determinante der A Matrix bei einer LR-Zerlegung
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Axiome eines VR








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Axiome eines UR

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Linearkombination von ist gleich
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Was ist eine Menge an Vektoren die den Nullvektor enthält
linear abhängig
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Was ist ein endlich dimensionaler Raum?
Wenn ein Erzeugendensystem mit endlich vielen Vektoren gebildet werden kann.
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Welche Eigenschaften hat ein Raum V mit dim(V) = n
  • Mehr als n Vektoren sind linear Abhängig
  • Weniger als n Vektoren sind nicht erzeugend
  • n linear unabhängige Vektoren bilden eine Basis
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0
Was gilt für Matrix wenn diese erzeugend ist?
  • lösbar
53
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0
Was gilt für Matrix wenn diese linear unabhängig ist?
  • hat nur die triviale Lösung
54
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0
Was gilt für Matrix wenn diese linear abhängig ist?
  • hat nichttriviale Lösungen
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Was gilt für Matrix wenn diese eine Basis ist?
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Axiome einer Norm:
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Euklidische Norm
= länge Vektor
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Maximumsnorm
des grössten Eintrages in
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P-Norm
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Wie sind zu ordnen?
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Skalarprodukt Axiome:

    • oder
  • (positive definitheit)
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Induzierte Norm
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Zwei Vektoren (x,y) sind orthogonal zueinander wenn?
(gilt für jedes Skalarprodukt)
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Orthogonalprojektion z von x auf y
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Was gilt für
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Was gilt falls
(Pythagoras)
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Was ist eine Spur?
(linear) Summe der Diagonalelemente einer quadratischen Matirx.
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Axiome einer lineare Abbildung


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Was ist eine Darstellungsmatrix?
Matrix die eine lineare Abbildung darstellt
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Was ist der Ker(Darstellungsmatrix)?
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0
Was ist das Im(Darstellungsmatrix)?
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0
Eigenschaften von Ker(A) und Im(A)
  • ist ein lösbares LGS
  • Ker(A) ist ein Unterraum von
  • Im(A) ist ein Unterraum von
  • Es gilt
  • Es gilt
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0
Wie bekommt man die Basis des Ker(A)?
Man setzt Ax = 0 und gausst, span vom x Vektor ergibt die Basis des Ker(A)
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0
Wie bekommt man die Basis des Im(A)
Man nimmt linear unabhängige Vektoren in A. (Wenn zuerst der Ker(A) bestimmt wurde können diese gleich abgelesen werden)
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0
Was ist ein charakteristisches Polynom?
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0
Was sind die Eigenwerte einer Diagonalmatrix?
Elemente der Diagonalen
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0
Was ist ein Eigenwert von wenn ein Eigenwert von ist.
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0
Was ist von A zu
Ein Unterraum
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0
Was ist die ?
Geometrische Vielfachheit = # freie Parameter
80
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Was ist eine Eigenschaft der EW zu  wenn die EV linear unabhängig sind?
sind paarweise verschieden
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Wann sind ähnlich?
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Was sind Gemeinsamkeiten von zwei ähnlichen Matrizen?
Charakteristisches Polynom, EW und algebraische Vielfachheit
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Wie lautet der EV von B zu von A, wenn der EV von A zu x ist?
y ist EV von B zu und
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0
Wann ist eine Matrix einfach?
Wenn alle EW die algebraische Vielfachheit 1 haben
85
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Wann ist eine Matrix halbeinfach?
Wenn bei jedem EW, EV paar, die algebraische Vielfachheit gleich der gemetrischen Vielfachheit ist.
86
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0
Wann ist eine Matrix A diagonalisierbar?
87
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Wie kann A mit T und D dargestellt werden?
88
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0
Wie wird T und D gebildet?
T sind die EV von A
D sind die EW von A auf der Diagonale eingetragen.
89
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Wie kommen komplexe EW und EV vor?
Immer paarweise konjugiert
90
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0
Eigenschaften der EW symmetrischer Matrizen
  • Alle EW von
  • EV von verschiedenen EW sind orthogonal
  • A ist halbeinfach (also auch diagonalisierbar)
  • Mit normierten Spalten von T kann die Orthonormalbasis von T gebildet werden
91
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Normalengleichung
92
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Axiome der Matrixnorm
  • orthogonale
  • symmetrische
  • reguläre
  • reguläre & symmetrische
  • max Spaltensummennorm = Addition des Betrags der Einträge der Spalte
  • max Zeilensummennorm = Addition des Betrages der Einträge der Zeile
93
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0
Was ist das Hurwitz Kriterium?
Es sagt, dass jede Matrix positiv definit ist wenn die Determinante alle ihrer quadratischen Untermatrixen strikt grösser Null ist.
94
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Was ist die Fehlergleichung
mit
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Welcher Wert ist der Fehler bei der Fehlergleichung der Ausgleichsrechnung?
96
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Wie erreicht man das Ziel der Ausgleichsrechnung und was soll erreicht werden?
Man will so finden, das minimal wird.
Und es gilt
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Wann ist die Lösung der Ausgleichsrechnung eindeutig?
98
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0
Was sind die Schritte der LR-Zerlegung für ?
  • Die Matrix A wird in L und R Zerlegt durch Gaussen (ausschliesslich mit Subtraktion) der Matrix A (P Matrix nicht vergessen)
  • Danach gilt
  • wird zu c zusammengeführt
  • Das führt zu wo nun nach c aufgelöst werden kann
  • Mit gefundenem c kann nun für x aufgelöst werden über
99
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0
Was sind die Schritte der QR-Zerlegung für ?
  • Die Matrix A wird in Q Zerlegt durch eine Serie von Givensrotationen mit der A Matrix
  • Danach gilt
  • Dann soll auf R geschlossen werden mit
  • Mit gefundenem R kann nun für x aufgelöst werden über
100
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0
Was ist die Summe von ?
101
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0
Was ist der Durschnitt
102
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0
Was bedeutet wenn stetige Funktionen}?
{1 mal diffbare stetige Funktionen}
103
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0
Was sind die Schritte des Gramm-Schmidt Orthogonalisierungsverfahren?
1. Etablierung des ersten Basisvektors:
2. Errechnung der Richtung des zweiten Basisvektors:

3. Normalisierung des zweiten Basisvektors:
4. Repetition von Schritt 2. und 3. für alle weiter Vektoren der originalen Basis.
Schritt 2. ist jeweils im Schema:
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Was ist eine Übergangsmatrix?
Eine Matrix die verwendet wird um von einer Basis in die nächste zu wechseln.
105
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0
Wie schliesst man auf eine Übergangsmatrix T die von geht?
Man stellt die Basisvektoren von der alten Basis (B') in der neuen dar (B).
Mit den Multiplikationswerten kann eine Matrix gebildet werden, welche wenn sie transponiert wird T ergibt.
Bsp:






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0
Wie kann die Darstellungsmatrix zur Matrix konvertiert werden mit der Übergangsmatrix
107
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0
Was ist die algebraische Vielfachheit?
Menge an malen dass der selbe EW vorkommt.
108
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0
Wie wird berechnet für A quadratisch und diag-bar?
1. EWP von A lösen
2. T und D bilden
3. Schauen ob A symmetrisch
   Nein: berechnen
   Ja: T orthogonal wählen
109
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0
Was sind die EW von ?
110
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Was sind die EV von
Sind gleich wie EV von A
111
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0
Wie kann berechnet werden wenn b gesucht ist?
1. berechnen
2. berechnen
3. berechnen
112
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0
Wie wird mit einer Summe dargestellt?
113
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0
Wie wird ohne Summe dargestellt mit A quadratisch und diag-bar?
114
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0
Was ergibt ?
115
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0
Wie kann auch dargestellt werden?
116
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0
Was ist , wenn stetig diffbar?
117
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0
Was ist
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Was ist
119
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Was ist
120
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Wie verhalten sich und wenn A symmetrisch
und auch symmetrisch
121
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Eigenschaften positiver definitheit
  • Matrix ist nicht singulär und es existiert eine inerse
  • Alle Hauptelement der Diagonalen sind positiv
122
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0
Was wird die Ausgleichsrechnung mit einer QR Zerlegung für die Matrix ausgeführt?
1. Q Matrix bilden
2. R bilden:
3. aus R extrahieren:
4. d bilden:
5. aus d extrahieren:
6. Nach x auflösen:
123
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0
Wann ist regulär?
124
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0
Was ist Q und R einer orthogonalen Matrix?

125
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0
Was ist eine unitäre Matrix?
Eine komplexe Matrix die orthogonal bezüglich des Standartskalarproduktes ist.
126
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0
Was ist ein Isomorphismus?
Bijektive Abbildung
127
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0
Welche art Matrizen sind isomorph?
Reguläre Matrizen (invertierbar)
128
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0
Was ist ein Automorphismus?
Isomorphismus auf sich selbst
129
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0
Wie kann Ax=b auch noch geschrieben werden mit einer Singulärwertzerlegung?
130
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0
Was ist eine Eigenschaft der U und V Matrix der Singulärwertzerlegung?
Sie sind orthogonal
131
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0
Wie wird die V Matrix der Singulärwertzerlegung errechnet werden?
  • Lösen des EWP von
  • V ist die Matrix bestehend aus den EV.
  • Die Reihenfolge der Matrix korrespondiert zu ihren entsprechenden EW wenn diese vom grössten zum kleinsten geordnet werden.
  • V wird orthonormalisiert (mit Gramm-Schmidt)
132
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0
Wie wird die U Matrix der Singulärwertzerlegung errechnet werden?
  • Lösen des EWP von
  • U ist die Matrix bestehend aus den EV.
  • Die Reihenfolge der Matrix korrespondiert zu ihren entsprechenden EW wenn diese vom grössten zum kleinsten geordnet werden.
  • U wird orthonormalisiert (mit Gramm-Schmidt)
133
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0
Wie kann die A Matrix auch ausgedrückt werde mittels der Singulärwertzerlegung?
134
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0
Wie wird die S Matrix einer Matrix mit der Singulärwertzerlegung gebildet?
Die Singulärwerte werden vom grössten zum kleinsten auf der Diagonalachse einer Matrix eingetragen. Alle anderen Werte werden 0 gelassen.
135
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0
Was ist ein Singulärwert?
136
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0
Was ist die Dimension der U Matrix bei einer Singulärwertzerlegung von
137
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0
Was ist die Dimension der V Matrix bei einer Singulärwertzerlegung von
138
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0
Welche Dimension hat bei der Singulärwertzerlegung der Matrix
139
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0
Welche Dimension hat bei der Singulärwertzerlegung der Matrix
140
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0
Von welcher Matrix muss das EWP gelöst werden um auf die U Matrix zu schliessen bei der SWP?
141
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0
Von welcher Matrix muss das EWP gelöst werden um auf die V Matrix zu schliessen bei der SWP?
142
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0
Wie kann die Matrix einer Matrix mit der Singulärwertzerlegung gebildet werden?
Die Singulärwerte werden vom grössten zum kleinsten auf der Diagonalachse einer Matrix eingetragen. Alle anderen Werte werden 0 gelassen.
143
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0
Wie kann die Matrix aus der S Matrix herausgelesen werden?
entspricht der in S vorkommenden quadratischen Diagonalmatrix.
144
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0
Wie kann von der V Matrix auf die U Matrix geschlossen werden?
Es wird für jeden Vektor in V gerechnet.
145
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0
Wie kann von der U Matrix auf die V Matrix geschlossen werden?
Es wird für jeden Vektor in U gerechnet.
146
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0
Was ist die Hauptgleichung der Singulärwertzerlegung?
147
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0
Wie ist der Vektor d der Singulärwertzerlegung aufgeteilt?
wobei hat die selbe Dimension wie ein Vektor von
148
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0
Wie kann d mithilfe der Singulärwertzerlegung berechnet werden?
149
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0
Was ist der Fehler der Singulärwertzerelgung?
150
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0
Wie wird zum x mit der Singulärwertzerlegung berechnet?
Es gilt
Also:
151
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0
Wie wird eine Hausholder Matrix mit dem Vektor v geformt?
152
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0
Wie wird eine Hausholder Matrix mit dem Vektor u geformt?
153
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0
Wie wird der Vektor u für die Hausholderspiegelung mit dem Vektor v geformt?
154
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0
Wie wird der Vektor v für die Haushodertransformation gewählt?

  • z ist der Zielvektor, also z.B. ein Einheitsvektor
  • a ist der Ausgangsvektor, also der zu spiegelnde Vektor
  • ist der Eintrag der im der oberen linken Ecke auf die die H Matrix angewendet wird
155
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0
Wie wird das gefundene gewählt wenn es aus einer Matrix stammt und angewendet wird
156
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0
Wie wird Q und R gewählt wenn gefunden sind?


157
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0
Wie wird Q und R gewählt wenn gefunden sind?


158
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0
Wie wird die Givensrotationsmatrix gewählt wenn der Eintrag der Matrix zu Null gemacht werden soll?

159
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0
Wie kann umgeformt werden wenn A diag-bar?


160
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0
Was ist die allgemeine Lösung von
161
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0
Wie kann auch geschrieben werden?
162
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0
Wie löst man das  DLG 1. Ordnung für A diag bar?
1. Man löst das EWP für A und erstellt D von a und T von A
2. Man setzt die Werte in die Gleichung
(für
Also erhält man:
163
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0
Wie macht man einen Spaltenvektor in Matlab?
v = [1;2;3]
164
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0
Wie macht man einen Zeilenvektor in Matlab?
v = [1,2,3]
165
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0
Wie macht man eine 2 x 2 Matrix in Matlab?
A = [1,2;3,4]
166
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0
Wie transponiert man einen Vektor oder eine Matrix in Matlab?
A', v'
167
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0
Wie summiert man einen Vektor in Matlab?
sum(v)
168
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0
Wie macht man eine Einheitsmatrix n x n in Matlab?
eye(n)
169
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0
Wie macht man eine Einheitsmatrix m x n in Matlab?
eye(m, n)
170
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0
Wie löst man Ax=b in Matlab?
x = A\b
171
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0
Wie berechnet man exp Elementweise in Matlab?
exp(A)
172
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0
Wie berechnet man in Matlab?
expm(A)
173
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0
Determinante in Matlab?
det(A)
174
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0
Inverse in Matlab?
inv(A)
175
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0
Rang in Matlab?
rank(A)
176
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0
Euklidische Norm in Matlab?
norm(A)
177
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0
LR Zerlegung in Matlab?
[L,R] = lu(A)
oder
[L,R,P] = lu(A)
178
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0
QR Zerlegung in Matlab?
[Q,R] = qr(A)
179
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0
Eigenwerte in Matlab?
[V,D] = eig(A)
180
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0
Ausgleichsproblem Ax-b = r in Matlab?
x = A' * A\A' *b;
181
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0
Singulärwertzerlegung in Matlab?
[U,S,V] = svd(A)
182
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0
Zweite Zeile Auslesen in Matlab?
A(2,:)
183
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0
Erste Spalte auslesen in Matlab?
A(:,1)
184
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0
Diagonalmatrix Matlab?
diag([1,2,3])
185
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0
Wie verhalten sich die Eigenwerte von A wenn A symmetrisch und positiv definit?
186
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0
Wann ist eine symmetrische Matrix A positiv definit? (nicht Hurwitz)
187
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0
Wann ist bei einer symmetrischen positiv definiten Matrix A?
x = 0
188
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0
Wann ist das Skalarprodukt ?
x = 0
Flashcard set info:
Author: CoboCards-User
Main topic: Lineare Algebra I
Topic: Lineare Algebra
School / Univ.: ETH Zürich
City: Zürich
Published: 21.01.2020
Tags: 2019
 
Card tags:
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