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Quadratfunktion:

           
           

Kehrwertfunktion:

           

Wurzelfunktion:

           

Antwort
Schaubild der Kehrwertfunktion heißt Hyperbel: blau
Schaubild der Quadratfunktion (heißt Nomalparabel): rot
Schaubild der Wurzelfunktion: grün

Eine Antiproportionalität ist eine „gestreckte“ Kehrwertfunktion. Das Verdoppeln des x-Wertes bewirkt stets eine Halbierung des entsprechenden Funktionswertes.

Linktipp: Die wichtigsten Funktionen mit ihren Schaubildern

Aus der Bedingung folgt die (Achsen-)Sym­me­trie des Schaubildes von f zur y-Achse
Beachte, dass man die entsprechende Funktion als "gerade" bezeichnet - nicht aber das Schaubild!
Beispiele:
- Jede konstante Funktion
-  Potenzfunktionen mit  gerader, ganzzahligen Hochzahl:
  
- Jede ganzrationale Funktion  mit ausschließlich geraden
   "x-Potenzen" .
  
  
- Die Kosinusfunktion mit beliebigem
   .
- Die Nullfunktion . (Einzige Funktion die sowohl
  gerade, als auch ungerade ist.)

Bemerkungen:
In Worten bedeutet die obige Gleichung: "Betrachtet man
auf der x-Achse eine Zahl und ihre Gegenzahl, so sind auch die entsprechenden y-Werte identisch."
Gerade Zahlen haben immer die Form eines Produkt aus einer natürlichen Zahl mit 2.

Aus der Bedingung folgt die Punktsym­me­trie des Schaubildes von f zum Ur­sprung
Beachte, dass man die entsprechende Funktion als "ungerade" bezeichnet - nicht aber das Schaubild!
Beispiele:
- Jede Proportionalität oder
   allg. Potenzfktn. mit ungerader, ganzzahliger Hochzahl
   .
   Hierzu zählt auch die Kehrwertfunktion  
- Jede ganzrationale Funktion  mit ausschließlich ungeraden
   "x-Potenzen"
   
  
- Die Sinusfunktion mit beliebigem
   .
- Die Nullfunktion . (Einzige Funktion die sowohl
  gerade, als auch ungerade ist.)

Bemerkungen:
In Worten bedeutet die obige Gleichung: "Betrachtet man
auf der x-Achse eine Zahl und ihre Gegenzahl, so sind auch die entsprechenden y-Werte jeweils Zahl und Gegenzahl."
Ungerade Zahlen haben immer die Form eines Produkt aus einer natürlichen Zahl mit 2 abzüglich oder zuzüglich 1.

Die Funktion f ist für alle reelen Zahlen definiert. Für jedes x gilt:


Somit ist die Funktion f gerade und das zugehörige Schaubild ist symmetrisch zur y-Achse.

Die Funktion besitzt eine einfache Nullstelle bei und , eine doppelte Nullstelle bei und eine dreifache Nullstelle bei .
Das Schaubild schneidet die x-Achse bei den einfachen Nullstellen (lokal nährungsweise wie eine Gerade), es berührt die x-Achse bei der doppelten Nullstellen (näherungsweise wie eine Parabel) und schneidet die x-Achse in einem Sattelpunkt (auch Terassenpunkt) bei der dreifachen Nullstelle (lokal wie einer Parabel dritter Ordnung).

Für die Lösung dieser Aufgabe benötigt man nicht unbedingt die Differenzialrechnung.
Die einfache Nullstelle liefert den Faktor , die doppelte Nullstelle (bei x=1) entsprechend . Hieraus ergibt sich eine (Hilfs-)Funktion , die wir so in y-Richtung strecken, dass das Schaubild der gestreckten Funktion durch (0/6) verläuft.

Aus (0/6) folgt:
also .



(Bei f(x) handelt es sich um eine ganzrationale Funktion, aber eine Darstellung in Summenform ist nicht gefordert! Kontrolliere das Ergebnis mit dem GTR/CAS.)

Bei einem Sattelpunkt (auch Terassenpunkt) muss an der entsprechenden Stelle die Ableitungsfunktion f' den Wert null besitzten (Sattelpunkte haben waagerechte Tangenten),  rechts und links von muss f' entweder nur positive Werte oder nur negative Werte besitzten.
Jede dieser zwei Bedingungen ist notwendig für einen Sattelpunkt - nur wenn beide Bedingungen gleichzeitig erfüllt sind, können wir an dieser Stelle sicher auf einen Sattelpunkt schließen - sie sind hierfür hinreichend.

Ebenfalls hinreichend für einen Sattelpunkt an der Stelle ist die Bedingung, dass sowohl als auch gilt.