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Alle Oberthemen / Mathematik / Logik & Algebra

Logik&Algebra (54 Karten)

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Quiz zur Vorlesung vom 26.03.2015
Antwort
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Was sind Grundbausteine der Aussagenlogik?
- elementare Aussagen, die eindeutig als "wahr" oder "falsch" identifiziert werden können
- sowie deren Verknüpfungen mit logischen Operationen wie "und", "oder" oder "nicht"
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Was ist eine Aussage?
Aussagen sind nur Sätze, denen eindeutig ein Wahrheitswert zugewiesen werden kann.
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0
Welche Junktoren haben wir kennengelernt?
nicht Negation
und Konjunktion
oder Disjunktion
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0
Welche Wahrheitstafeln ergeben sich bei der
Anwendung der verschiedenen Junktoren?
a b ab
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1




a b ab
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1


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Was ist das „exklusive oder“?
- Entweder oder

a b a XOR b
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
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0
Was ist die „Implikation (Konditional)“?
a b ab
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1


umformen:
8
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0
Was ist die „Äquivalenz (Bikonditional)“?
a b ab
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1


umformen:



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Was sind „Syntax“ und „Semantik“ im Rahmen der Aussagelogik?
Die Syntax gibt hierbei an, wie formal korrekte Formeln gebildet werden können. Sie ist also vergleichbar mit der Grammatik einer Sprache, und sagt damit nichts über die inhaltliche Bedeutung der Sätze aus.

Die Semantik dahingegen geht auf die inhaltliche Bedeutung syntaktisch korrekter Strukturen ein. Im Rahmen der Aussagenlogik bezieht sich diese Interpretation jedoch nur auf die Bewertung
von Aussagen als „wahr“ oder „falsch“ aufgrund festgelegter Gesetzmäßigkeiten, der eigentliche Sinn der Elementaraussagen wird dabei nicht hinterfragt.
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0
Ist eine gültige Aussage? Was ist mit ?
Für beide nein, da kein anderer Junktor direkt vor einem oder stehen darf.
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Was ist eine „Tautologie“?
eine Aussage, die unter jeder beliebigen Belegung der Eingangswerte "wahr"/"1" ist ...
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Wann ist eine logische Formel
widerspruchsvoll (Kontradiktion)?
eine Aussage, die unter jeder beliebigen Belegung der Eingangswerte "falsch"/"0" ist ...
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0
Wann ist eine logische Formel
erfüllbar? Kontingenz
wenn mindestens eine Belegung der Eingangswerte existiert, sodass die Formel "wahr"/"1" ist.
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Wie kann bewiesen werden, ob eine logische Formel eine Tautologie / Kontradiktion ist?
Wahrheitstabelle
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Quiz zur Vorlesung vom 01.04.2015
Antwort
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Wie lässt sich die Äquivalenz zweier
aussagenlogischer Formeln beweisen?
- Wahrheitstabelle
- Umformung der beiden Formeln in kKN oder kDN und anschließend richtig sortieren (links nach rechts: 000 bis 111). Dann ist absolute Vergleichbarkeit gegeben.
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0
Welche wichtigen logischen
Gesetzmäßigkeiten haben wir kennengelernt?
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Welche Vorrangregeln haben wir kennengelernt?
1. Klammern ()
2. "nicht"
3. "und"
4. "oder"
5. "Implikation"
6. "Äquivalenz"

Gleiche Ausdrücke von links nach rechts auswerten
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0
Was sind Normalformen? Was zeichnet die zwei verschiedenen Varianten aus?
Eindeutige Darstellung von Wahrheitsformeln. Sie dienen der Vergleichbarkeit.

Konjunktive Normalform: Konjunktive Verbindung von Disjunktionstermen


Disjunktive Normalform: DisjunktiveVerbindung von Konjunktionstermen
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Wie können Sie die KNF bzw. DNF an einer Wahrheitstabelle ablesen?
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Quiz zur Vorlesung vom 08.04.2015
Antwort
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Wie lautet der Algorithmus zur Erzeugung einer DN / KN?
1. Anwenden der DeMorganschen Regeln ( nach innen ziehen)

2.  Anwendung eines Distributivgesetztes (je nach dem ob DN oder KN gewünscht ist)

3. Zusammenfassen gleicher Terme mit den Idempotenzgesetzen

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Was ist eine kanonische Normalform? Warum ist diese Form anzustreben?
eine spezielle Darstellungsform von Wahrheitsfunktionen die eindeutig ist und absolute Vergleichbarkeit bietet.
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Was ist ein Minterm, was ein Maxterm?
Minterm:
Konjunktionsterm der kDN
Ein Minterm ist eine Konjunktion von Literalen

Maxterm:
Disjunktionsterm der kKN
Ein Maxterm ist eine Disjunktion von Literalen
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Wie lautet der Algorithmus zur Erzeugung einer kDN / kKN?
1. Ausgehend von einer DN oder KN des Terms A suchen wir alle Terme, in welchen Variablen fehlen. Gibt es solche Terme nicht, liegt bereits eine kDN oder kKN vor und wir sind fertig.
2. Ansonsten wählen wir den ersten Konjunktionsterm K (Disjunktionsterm D) von A und eine Variable a, die nicht darin vorkommt.
3. Wir ersetzen K durch oder D durch und können dann das Distributivgesetz anwenden.
4. Wie schon beim Fall des Erzeugens der DN oder KN können gleiche Terme auftauchen, diese werden mit dem Idempotenzgesetz zusammengefasst.
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Wie werden Terme geordnet, um leichter eine Vergleichbarkeit herstellen zu können?
Wir übersetzen eine negierte Variable in eine „0“ und eine nichtnegierte Variable in eine „1“.
Hierdurch werden n-stellige Dualzahlen erzeugt, welche entsprechend ihrer Größe sortiert (links nach rechts: 000 bis 111). werden können und so die Position des entsprechenden Minterms oder Maxterms in der kDN oder kKN bestimmen.
27
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Quiz zur Vorlesung vom 22.04.2015
Antwort
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Was ist eine Menge und was ist in diesem Zusammenhang ein Element?
Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen; diese Objekte heißen die Elemente der
Menge.
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Zeigen Sie zwei Beispiele für eine Menge!

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Was ist die Mächtigkeit einer Menge?
Die Mächtigkeit einer Menge gibt an, wie viele Elemente die Menge besitzt.

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Was sind Quantoren? Welche Quantoren haben wir kennengelernt?
Existenzquantor:
- es gibt mindestens ein Element

Negierter Existenzquantor:
- es existiert kein Element x

Allquantor:
- für alle Elemente gilt
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Was ist das Extensionalitätsprinzip?


Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Objekte als Elemente haben.
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Was ist die charakteristische Aussageform und warum wird diese gebraucht?
Schreibweise zur Verdeutlichung der Elemente einer unendlichen Menge.

auch: prädikative Mengendefinition



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Wie wird die charakteristische Aussageform noch bezeichnet?
prädikative Mengendefinition
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Was ist eine echte Teilmenge und wie wird diese notiert?
TM bedeutet, dass T Teilmenge der Menge M ist und die Mengen dabei nicht gleich sein dürfen.
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Was ist eine unechte Teilmenge und wie wird diese notiert?
Bei der unechten Teilmenge ist es zulässig, dass T = M ist.

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Wann wird von einer Obermenge gesprochen?
Wenn T M ist kann umgekehrt gesagt werden, M ist eine Obermenge von T.
M T wird somit gelesen als M ist Obermenge von T.
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Was ist die Potenzmenge einer Menge?


Das größte zu einer gegebenen Menge M denkbare Mengensystem

Beispiel:
Sei

Dann

Notation mit geschweiften Klammern
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Welche Mächtigkeit besitzt die Potenzmenge einer
Menge?
40
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Quiz zur Vorlesung vom 22.04.2015
Antwort
41
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Welche Gesetzmäßigkeiten für
mengenalgebraische Operationen haben wir kennengelernt?
auch Axiomatik

Name Gesetz
Idempotenzgesetze
Kommuntativgesetze
Assoziativgesetze
Absorptionsgesetze
Distributivgesetze


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Was ist das kartesische Produkt?
auch Kreuzprodukt



alle möglichen Verbindungen von zwei Mengen

Notation mit Runden klammern
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Was ist eine Relation?
Eine Beziehung zwischen zwei Elementen
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Welche Eigenschaften von Relationen haben wir kennengelernt?
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Welche Ordnungsrelationen haben wir kennengelernt?

Zusätzlich:
Reflexiv + Transitiv + Symmetrisch = Äquivalenzrelation
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Quiz zur Vorlesung vom 29.04.2015
Antwort
47
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Wann ist eine Funktion injektiv?
zu jedem Bild (y-Wert) gibt es höchstens ein Urbild (x-Wert)

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Wann ist eine Funktion surjektiv?
zu jedem Bild (y-Wert) gibt es mindestens ein Urbild (x-Wert)

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Wann ist eine Funktion bijektiv?
zu jedem Bild (y-Wert) gibt es genau ein ein Urbild (x-Wert)
--> damit gilt injektiv und surjektiv

50
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Nennen Sie jeweils Beispiele zu injektiv, surjektiv, bijektiv
injektiv: 
surjektiv:
bijektiv:
weder noch:
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Welche Gesetzmäßigkeiten gelten in der Booleschen Algebra?
Kommutativgesetze
Assoziativgesetze
Idempotenzgesetze
Distributivgesetze
Neutralitätsgesetze
Extremalgesetze
Doppelnegationsgesetz
De Morgansche Gesetze
Komplementärgesetze
Dualitätsgesetze
Absorptionsgesetze
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Welche Vorrangregeln gelten?
1) Negation
2) UND (Konjunktion)
3) ODER (Disjunktion)
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Was ist eine Boolesche Funktion?
Grundlage jeder Booleschen Funktion sind Variablen ai (i = 1, …, n), welchen eindeutig eine Belegung B {0, 1} zugewiesen werden kann. Aus diesen werden syntaktisch korrekte Terme auf folgende Art und Weise gebildet:

1. Jede Konstante 0 und 1 und jede Variable ai ist ein Boolescher Term.
2. Sind A und B Boolesche Terme, dann sind auch A’, (A B) und (A B) Boolesche Terme.
3. Nur Zeichenreihen, die sich mit (1) und (2) in endlich vielen Schritten konstruieren lassen, sind Boolesche Terme.
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Was ist eine Kontingenz?
Eine Formel die erfüllbar ist
Kartensatzinfo:
Autor: learner94
Oberthema: Mathematik
Thema: Logik & Algebra
Veröffentlicht: 26.08.2017
 
Schlagwörter Karten:
Alle Karten (54)
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