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All main topics / Simulationstechnik RWTH / AVT

AVT (82 Cards)

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Simulation
  • Verfahren zur Nachbildung eines Systems mit seinen dynamischen Prozessen in einem experimentierbaren Modell, um zu Erkenntnissen zu gelangen, die auf die Wirklichkeit übertragbar sind
  • Vorbereiten, Durchführen und Auswerten gezielter Experimente mit einem Simulationsmodell
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Wozu braucht man Simulation?
  • wir wollen Simulation verwenden, um komplexe Probleme greifbar zu machen und sie einer Lösung zuzuführen
  • Kerntechnologie, um Entwicklungsprozesse im Maschinenbau, in der Luft- und Raumfahrttechnik und in der Verfahrenstechnik zu unterstützen
  • Bewertung des Produktionsprozesses mit Hilfe eines Modells in der virtuellen Welt
  • Verständnis des Systems
  • Entwicklung von Strategien zum Betrieb eines Systems
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Diskretisierungsarten
  • zeitdiskret
  • wertdiskret
  • ereignisdiskret
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Lösung des Zustandraumes
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Autonomes System
Das System hat keine Eingänge .
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Hilfskonstrukte zur Beschreibung von Schaltfunktionen in Modelica
1. if-Bedingung:




2. when-Bedingung:

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Allgemeine Form für jede Art der Zustandsraumdarstellung - Durch welche Methode sind Umformungen zwischen den Zustandsraumdarstellungen möglich?

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Ereignisdiskretes System
Werte der Zustände sind diskret und ändern sich ausschließlich als Folge von externen oder internen Ereignissen (keine Zeitabhängigkeit)

  • Petri-Netz
  • Endlicher Automat
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Wie bezeichnet man Systeme, deren Verhalten sehr stark von den Anfangswerten abhängt, so dass Vorhersagen über längere Zeit nicht möglich sind?
Chaotisches System
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Bifurkation
Änderung des qualitativen Verhaltens des Systems durch die Änderung der Parameter eines Systems .

Beispiel: Anzahl an Ruhelagen, Stabilität einer oder mehrerer Ruhelagen
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Allgemeine Gleichungen für ein differentiell-algebraisches System




: differentielle Variablen (Zustände)
: algebraische Variablen
: Eingänge
: Ausgänge
: Parameter

Die zusätzlichen algebraischen Gleichungen schränken den Lösungsraum des differentiellen Systems sowie dessen Anfangswerte ein.



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Beispiel für ein DA-System
Thermodynamisches System:
Differentielle Gleichungen: z.B. Bilanzgleichungen
Algebraische Gleichungen: z.B. Gleichungen für Reaktionsraten
Algebraische Variablen: z.B. Temperatur
Parameter: z.B. Reaktionskonstante

Pendel:
Differentielle Gleichungen: z.B. Geschwindigkeit
Algebraische Variablen: z.B. Position
Anfangswerte: z.B. Anfangsposition, Geschwindigkeit, etc.
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Fluss- und Potentialvariablen
Potentialvariablen werden beim Verkoppeln gleich gesetzt, Flussvariablen (Modelica-Schlüsselwort: ) werden zu Null addiert.
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Beispiele für Flussvariablen
elektrische Systeme: Stromfluss

mechanische Systeme: Kraft , Drehmoment

thermodynamische Systeme: Stofffluss , Massenfluss , Wärmefluss
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Beispiele für Potentialvariablen
elektrische Systeme: Spannung

mechanische Systeme: Position , Drehwinkel

thermodynamische Systeme: Druck , Temperatur
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Bilanzierung von Massen bei der Modellierung allgemeiner thermodynamischer Systeme
Die Gesamtmassenbilanz und alle Stoffmassenbilanzen bilden gemeinsam ein Index-0 System. Durch numerische Fehler bei der Integration wird die Lösung dieses Systems im Allgemeinen nicht die Schließbedingung erfüllen. Alternativ werden die Gesamtmassenbilanz, die Schließbedingung und n−1 Einzelmassenbilanzen aufgestellt, wobei n die Anzahl der beteiligten Stoffe ist.
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Allgemeine Bilanzgleichung für Energie

a: Zeitliche Änderung der Energie im Bilanzraum (Speicherterm)
b: Enthalpieströme (Strom)
c: Wärmeströme (Strom)
d: Technische Arbeit (Strom)
e: Volumenänderungsarbeit (Strom)
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Kann man ein lineares, zeitvariantes System in Zustandsraumdarstellung immer zu einem linearen, zeitinvarianten System umformen?
Nur in Spezialfällen, die im Rahmen der Simulationstechnik-Vorlesung nicht betrachtet werden.
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Ist ein System über- oder unterbestimmt?
Freiheitsgradanalyse:
Variablen - Gleichungen = Freiheitsgrade

Freiheitsgrade geben an, wieviele Variablen mehr als Gleichungen im System vorhanden sind.
f > 0: unterbestimmt
f < 0: überbestimmt
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Anzahl an Anfangsbedingungen
eine Anfangsbedingung je differentieller Variable
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Teilsystembezeichnung sowie die jeweils benötigte Bauteilgleichung eines elektrischen Systems
Widerstand (Speicher- oder Verknüpfungssystem):


Kondensator (Speichersystem):


Spule (Speichersystem):

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Gleichungen für das explizite und das implizite Euler-Verfahren für das allgemeine System
Explizites Euler-Verfahren:


Implizites Euler-Verfahren:


Auswertung der Funktion zu unterschiedlichen Zeitpunkten.
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Nachteile explizites Euler-Verfahren
  • Verfahren ist nicht A-stabil
  • für große Zeitschritte wird keine stabile Lösung gefunden

Möglichkeiten um das Anfangswertproblem stabil zu lösen:
  • Benutzung eines anderen numerischen Lösungsverfahrens (z.B. implizites Euler-Verfahren)
  • Verkleinerung der Schrittweite
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Modellierungsablauf
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Konzentrierte und verteilte Systeme
  • Konzentrierte Systeme sind ortsunabhängig (d.h. Beschreibung mittels gewöhnlicher Differentialgleichungen und algebraischer Gleichungen)
  • Verteilte Systeme sind ortsabhängig (d.h. Beschreibung mittels partieller Differentialgleichungen

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Gegeben ist ein System der Form mit Dimension 2. Kann in dem System Chaos auftreten?
Nein, denn damit das gegebene System chaotisch sein kann, muss
seine Dimension echt größer als 2 (also mindestens 3) sein.
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LaSalle Theorem
  • Wird verwendet um zu untersuchen, ob die Ruhelage des Systems nicht nur stabil, sondern auch asymptotisch stabil ist
  • kann angewendet werden, wenn die Ljapunow Funktion
  • PDF (oder UPDF) ist und NSDF ist
.
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Hybrider Automat (Schaubild)
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Zusammenhang Inzidenz-Matrix und Jacobi Matrix
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Allgemeines Parameterschätzproblem nach der Methode der kleinsten Fehlerquadrate für dynamische Systeme mit einem (skalaren) Ausgang

: Gütemaß
: Ausgang
: Parameter
: Messzeiten
: Messwerte


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Minimale Fehlerquadratsumme


notwendige Bedinung:
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Sensitivitätsgleichungen für ein allgemeines Zustandsraummodell
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Vor- und Nachteile des impliziten Euler-Verfahrens
+ höhere Genauigkeit als beim expliziten Euler-Verfahren
+ Stabilität unabhängig von

- es muss ein Gleichungssystem gelöst werden, um die Lösung zum neuen Zeitpunkt zu berechnen
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Dahlquistsche Testgleichung und Bedingungen zur Untersuchung der Stabilität eines numerischen Integrationsverfahrens


Damit ein Verfahren A-stabil ist, muss ∀ λ mit Re(λ)<0 und
∀ Schrittweiten ∆t gelten:

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Schlüsselwort für ein unvollständiges Modelica-Modell
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Allgemeine Bilanzgleichung für ein thermodynamisches System

: zu bilanzierende Größe
: Fluss
: Quelle/ Senke
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Typen von Teilsystemen bei der strukturierten Systemdarstellung
Speichersysteme, Verknüpfungssysteme
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Taylor
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Womit bestimmt man analytisch, ob ein System vollständig spezifiziert ist?
Freiheitsgradanalyse
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Wann ist eine Funktion linear?
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Petri-Netz
Kantengewicht:
  • : Anzahl der zur Aktivierung der Transition notwendigen Token
  • : Zahl der Token nach der Transition

  • ungerichtete oder gerichtete Kanten




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Verhalten hybrider Systeme und Beispiele für ein
hybrides System
  • diskretes und kontinuierliches Verhalten
  • Bsp.: elektrischer Schaltkreis, springender Ball, Thermostat, Wetter, Auto
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Verteilung von Parameterwerten gemäß dem Latin hypercube sampling

Zwei mögliche Lösungen für die Verteilung von Parameterwerten im Parameterraum (insgesamt gibt es 6! = 720 korrekte Lösungen)
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Klassen von autonomen kontinuierlichen dynamischen Systemen
  • nichtlineares zeitvariantes System
  • lineares zeitvariantes System
  • nichtlineares zeitinvariantes System
  • lineares zeitinvariantes System
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Kirchoff’schen Regeln
Es werden
n−1 Knotengleichungen und
z−(n−1) Maschengleichungen
benötigt.

(z: Zweige)
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Welche Bedingung muss gelten, damit ein lineares System mit und für konstante Eingänge eine eindeutige Ruhelage besitzt?
A muss vollen Rang haben bzw.
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Arten von Freiheitsgraden
  • konstruktionsbedingte Freiheitsgrade
  • betriebsbedingte Freiheitsgrade
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Was muss für ein autonomes System gelten, damit das zugehörige nicht-autonome System bei konstanten Eingängen stabil ist?
Das autonome System muss stabil sein.
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differentieller Index eines differentiell-algebraischen Systems
  • die minimale Anzahl an Differentiationen, die auf Teile des Systems oder des Gesamtsystems angewandt werden müssen, um das DA-System in ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen zu überführen
  • ein System mit einem Index kleiner oder gleich eins liegt vor, wenn alle algebraischen Gleichungen nach allen algebraischen Variablen aufgelöst werden können
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Indexreduktion
1. Zeitliche Ableitung der algebraischen Gleichungen
2. Einsetzen der differentiellen Gleichungen
3. Versteckte algebraische Gleichungen
4. Explizite Gleichung für jede algebraische Gleichung möglich?
  • Ja: Index-1 System aufstellen
  • Nein: Erneutes Ableiten der algebraischen Gleichungen
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Methoden, mit denen man das bei hybriden dynamischen Systemen auftretende diskrete Verhalten implementieren kann
Glättung, Überwachung des Schaltzeitpunktes
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implizite und explizite Transitionen bei hybriden Automaten
  • Explizite Transitionen sind Funktionen der Zeit (und/)oder
  • der Eingangsgrößen
  • Implizite Transitionen sind Zustandfunktionen
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Erklären Sie, wie man ohne mathematische Rechnung feststellen kann, ob ein DA-System einen Index größer 1 hat.
Sind die algebraischen Gleichungen eines DA-Systems nicht nach den algebraischen Variablen auflösbar, dann hat das System einen differentiellen Index größer Eins (Inzidenzmatrix der algebraischen Gleichungen hat nicht vollen Rang).
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Shannon-Theorem
besagt, dass die Frequenz, mit der ein Signal abgetastet werden muss, mehr als doppelt so hoch sein muss, wie die höchste im Signal enthaltene Frequenz
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zeitdiskretes und zeitkontinuierliches System
In einem zeitdiskreten System ändern die Zustände nur zu bestimmten, diskreten Zeitpunkten ihre Werte. In einem zeitkontinuierlichen System hingegen ändern sie sich kontinuierlich.
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Sprungbedingung (hybrider Automat)
: bezeichnet den linksseitigen Grenzwert einer Variablen x am Zeitpunkt t, also den Wert vor dem Eintreten eines diskreten Ereignisses bei t

: bezeichnet den rechtsseitigen Grenzwert von x am Zeitpunkt t, also den Wert nach dem Eintreten eines diskreten Ereignisses
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Hybrider Automat
  • Möglichkeit zur Modellierung hybrider Systeme
  • hybride Systeme bestehen aus einem diskreten und einem kontinuierlichen Teil
  • in Moden wird eine Differentialgleichung eingebettet, die kontinuierlichen Regler repräsentiert
  • Übergang zwischen Moden ist diskret


Beispiel: elektrischer Schaltkreis
weist fast immer einen kontinuierlichen Verlauf von Strom und Spannung auf, wird aber zu diskreten Zeitpunkten durch schaltende Bauelemente (z.B. Transistoren) beeinflusst
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Speichergrößen
differentielle Größen (speichern somit auch extensive Größen)

Bsp.: Position und Geschwindigkeit bei mechanischen Modellen
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Matrizen A , B , C und D in der linearen Zustandsraumdarstellung
A: Systemmatrix
B: Eingangsmatrix
C: Ausgangsmatrix
D: Durchgangsmatrix
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und in Modelica
: unvollständiges Modelica-Modell, welches nicht alleine ausgeführt werden kann

: Befehl, mit dem in einem Modelica-Modell die Variablen und Gleichungen eines unvollständigen Modells übernommen (geerbt) werden
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Speicher- und Verknüpfungssysteme
Verknüpfungssysteme haben keine Zustände/ speichern keine
Masse, Stoffmenge, Energie o.a. extensive Größen.

  • Speichersystem: Kondensator, Spule
  • Verknüpfungssystem: widerstandsloser Leiter
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Warum ist eine Indexanalyse sinnvoll?
  • Auswahl geeigneter numerischer Methoden (viele Simulatoren können nur Index-1)
  • Bestimmung der Anzahl unabhängig zu spezifizierender Anfangsbedingungen
  • Identifikation von algebraischen Zwangsbedingungen
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Unterschied AVT - CATS
AVT: Es werden ausschließlich konzentrierte Systeme betrachtet

CATS:
beschäftigt sich mit verteilten Systemen
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Zustandsraumkonzept
  • geeignet für die Simulation und Analyse des dynamische Verhaltens von Systemen
  • ermöglicht eine einheitliche und übersichtliche Veranschaulichung des Prozesses
  • viele Softwaretools arbeiten mit Zustandsdarstellungen
  • System von Differentialgleichungen, Vektorraum
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Stabilität
für Startwerte innerhalb der δ-Umgebung der Ruhelage bleibt die Lösung des Systems immer in der -Umgebung, überschreitet also nie den äußeren Kreis
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Asymptotische Stabilität
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Trajektorie
Für wachsende t beschreibt x(t) die Bahnkurve bzw. eine so genannte Trajektorie.

  • dürfen Schlangenlinien fahren
  • dürfen sich für verschiedene Anfangswerte nicht schneiden
  • keine Sprünge, kein Knick


Phasenporträt: Trajektorien eines Systems für mehrere Anfangswerte im selben Diagramm
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Ruhelage
ändern sich die Zustandsgrößen nicht mit der Zeit
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Stabilität linearer autonomer Systeme
stabil: Realteil der EW < 0

instabil: Realteil der EW > 0

grenzstabil: Realteil eines EW = 0, sonst <0
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Ruhelage anhand der Sinuskurve
  • Sinuskurve: Periodische Bewegung durch die Ruhelage
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Berechnung Stabilität eines Systems
  • Experimentell
  • Direkte Stabilitätsanalyse nach Ljapunow
  • Indirekte Stabilitätsanalyse nach Ljapunow
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Indirekte Methode von Ljapunow
  • Linearisierung um die Ruhelage
  • es kann von den Realteilen der Eigenwerte auf das lokale Stabilitätsverhalten geschlossen werden
  • Hartman-Grobman: Rückschluss vom linearisierten System auf das nichtlineare System ist nur zulässig, wenn die Matrix A keinen Eigenwert hat, dessen Realteil Null ist
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Direkte Methode von Ljapunow
  • erfolgt mit Hilfe der sogenannten Ljapunow-Funktion
  • lässt sich direkt auf nichtlineare Systeme anwenden

Voraussetzungen:
1.
2.
3. Definitheit: ist die Funktion indefinit, ist diese als Ljapunow Funktion ungeeignet ( und muss definit sein auf )
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Sensitivität
Empfindlichkeit der Variablen auf Änderung der Parameter
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Lösung der Matrix bei Ruhelage


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Sensitivitätsmatrix
der Ausgänge (Sensitivitätsmatrix der Zustände analog):

  • zur Berechnung der Sensivitäten
  • Zeilen m: Anzahl an Ausgängen/ Zuständen, Spalten n: Anzahl an Parametern (unterschiedliche Anzahl von von Parametern und Ausgängen möglich)

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Grenzzyklus und Attraktor
  • Wenn für beliebige Startwerte (außer der instabilen Ruhelage) alle Trajektorien auf eine geschlossene Trajektorie zulaufen, ist diese der Grenzzyklus und in diesem Fall der Attraktor
  • Attraktor: eine Untermenge des Zustandsraums, der sich Systemzustände in einem bestimmten Einzugsbereich annähern und die unter der Dynamik des nichtlinearen Systems nicht mehr verlassen wird
  • Ruhelagen sind Spezialfälle von Attraktoren
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Einzugsbereich
Für stabile Ruhelage wird die Menge aller Punkte des Zustandsraums als Einzugsbereich bezeichnet, aus denen die Trajektorien x(t) für t → ∞ gegen die Ruhelage streben
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Wie kann das Systemverhalten dargestellt werden?
  • Zustand als explizite Funktion der Zeit auftragen
  • Darstellung im Zustandsraum
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Themen im AVT-Teil
  • elektrische Systeme
  • thermodynamische Systeme
  • mechanische Systeme
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Differentieller Index
  • Ein Index von Null bezeichnet ein gewöhnliches Differentialgleichungssystem (DGL)
  • Ein System in Zustandsdarstellung nach hat den Index 1
  • Ein DA-System hat den Index größer oder gleich 1
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Endlicher Automat
  • Knoten beschreiben direkt die diskreten Zustände
  • Übergänge zwischen diesen Zuständen werden durch gerichtete Kanten beschrieben
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Author: CoboCards-User
Main topic: Simulationstechnik RWTH
Topic: AVT
Published: 25.05.2018
 
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