C3: Mittelwerte von kontinuierlich veränderten Größen mit der Integralrechnung berechnen.
Man nutzt Integralrechnung, um den Mittelwert M einer (stetigen) Funktion im Intervall [a;b] zu berechnen. Dazu teilt man das Integral in diesem Intervall durch die Differenz von b und a.
![](/pool/data/tex/e011d2bb8eca652b332ff070ac50c077.gif)
Beispiel: Berechnen Sie den durchschnittlichen Funktionswert der Funktion f mit:
(x Element der reellen Zahlen)
im Intervall von 0 bis 3.
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![](/pool/data/tex/8b48f9499e1639cffce4e58ad7e5cb78.gif)
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Beispiel: Berechnen Sie den durchschnittlichen Funktionswert der Funktion f mit:
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im Intervall von 0 bis 3.
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H2: Den Flächeninhalt eines Dreiecks und das Volumen eines Tetraeders nach elementaren Methoden bestimmen.
Der Flächeninhalt A eines Dreiecks ABC entspricht der Hälfte der Länge des Kreuzprodukts zweier Vektoren, die dieses Dreieck aufspannen.
![](/pool/data/tex/59c54f2c6524553f6e70a5e8a8397adb.gif)
Beispiel: Gesucht ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(0/0/0), B(2/2/2) und C(0/2/2). Für A ergibt sich:
![](/pool/data/tex/e3dd2d97e4cf366350c1a59ae9e4d329.gif)
![](/pool/data/tex/7f2a536187df9ef3af5ce4468046bddf.gif)
![](/pool/data/tex/6eae0cbde28bd6b90543c956e3953272.gif)
![](/pool/data/tex/6db97d75c38bf67798327f4eda29b46a.gif)
Ein Tetraeder ist eine Pyramide mit einer dreieckigen Grundfläche, bei der alle Seiten gleichlang sind.
Für das Volumen V gilt allgemein:
![](/pool/data/tex/8e31439c9b3fa7525633fa8525cae164.gif)
Als Beispiel nehmen wir einen Tetraeder ABCD mit den Eckpunkten A (1/1/1), B (1/0/0), C (0/1/0) und D (0/0/1).
Für das Volumen V ergibt sich:
![](/pool/data/tex/a7322f627719bc5ae8fee332246396dd.gif)
![](/pool/data/tex/932003e761c0133a3ee69146a3a13147.gif)
![](/pool/data/tex/d98c3e3ab38eb526844c519a5294e9a4.gif)
![](/pool/data/tex/59c54f2c6524553f6e70a5e8a8397adb.gif)
Beispiel: Gesucht ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(0/0/0), B(2/2/2) und C(0/2/2). Für A ergibt sich:
![](/pool/data/tex/e3dd2d97e4cf366350c1a59ae9e4d329.gif)
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Ein Tetraeder ist eine Pyramide mit einer dreieckigen Grundfläche, bei der alle Seiten gleichlang sind.
Für das Volumen V gilt allgemein:
![](/pool/data/tex/8e31439c9b3fa7525633fa8525cae164.gif)
Als Beispiel nehmen wir einen Tetraeder ABCD mit den Eckpunkten A (1/1/1), B (1/0/0), C (0/1/0) und D (0/0/1).
Für das Volumen V ergibt sich:
![](/pool/data/tex/a7322f627719bc5ae8fee332246396dd.gif)
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H3: Den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen.
Der Abstand d eines Punktes Q zur Ebene E (mit dem Punkt P und dem Normalvektor
(Länge = 1LE)) lässt sich am einfachsten mit der HNF (Hesse'sche Normalenform) berechnen.
![](/pool/data/tex/114633d7e8fa76e6e0a844dee6f7059a.gif)
Beispiel: Welchen Abstand hat Q (5/3/1) zur
-Ebene?
![](/pool/data/tex/1be3cc5f4e8a685b95268d6c017ac3db.gif)
Hinweis: Auch andere Methoden, wie das Benutzen einer zu E senkrechten Geraden durch Q, um den zu Q nächsten Punkt in E zu finden, können benutzt werden.
![](/pool/data/tex/a92aec19f33d0f3c763ef6a6be7bcecf.gif)
![](/pool/data/tex/114633d7e8fa76e6e0a844dee6f7059a.gif)
Beispiel: Welchen Abstand hat Q (5/3/1) zur
![](/pool/data/tex/1a73f328bad560e4c0fe9f0896a655fb.gif)
![](/pool/data/tex/1be3cc5f4e8a685b95268d6c017ac3db.gif)
Hinweis: Auch andere Methoden, wie das Benutzen einer zu E senkrechten Geraden durch Q, um den zu Q nächsten Punkt in E zu finden, können benutzt werden.
![](/pool/img/avatar_40_40.gif)
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Author: CoboCards-User
Main topic: Mathematik
Topic: R³, Funktionen
Published: 24.02.2011
Tags: Neizert
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