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All main topics / Simulationstechnik RWTH / CATS

CATS (46 Cards)

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Diskretisierung
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Methoden zur Diskretisierung

Ergebnis der Diskretisierung ist immer ein GLS.
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Differentialgleichung
  • gewöhnliche DGL: Ableitung nach einer einzigen Koordinate (Raum oder Zeit) mit Anfangsbedingungen
  • partielle Differentialgleichung: Ableitung nach mehreren Koordinaten (zwei oder mehr Raumkoordinaten, Raum und Zeit) mit Anfangs- und Randbedingungen (Dirichlet)
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Finite Differenzen Methode
  • pDGL wird in Differenzensterne umgewandelt, welche zu algebraischen Gleichungen in den Unbekannten an den Knoten (nicht unbedingt äquidistant) führen
  • Ableitungen durch Differenzenausdrücke approximiert
  • Taylorreihenentwicklung
  • Vorwärts-, Rückwärts-, Zentrale Differenzen bilden
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Bestimmung von Differenz-Ausdrücken
Taylorreihenentwicklung:

Die Taylorreihen so addieren, dass
1. alle Ableitungen niedriger als die gesuchte wegfallen,
2. und möglichst viele Ableitungen höher als die gesuchte wegfallen.
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Differenzenstern
Differenzenquotienten werden Differenzenstern genannt:
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Maßnahmen in der Nähe der Ränder des betrachteten Gebiets
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Möglichkeiten bei der Auswahl des FD-Schemas
  • Anzahl der Stützpunkte
  • vorwärts, rückwärts, oder zentral
  • Auswahl der Knoten (nicht unbedingt äquidistant)

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Zeitdiskretisierungsmethoden
Explizites Euler-Verfahren (Euler-Vorwärts-Verfahren):
  • Vorwärtsdifferenzen
  • räumliche Ableitung zum Zeitpunkt n auswerten
  • 1. Ordnung genau
  • bedingt stabil, zwei Stützstellen
Implizites Euler-Verfahren (Euler-Rückwärts-Verfahren):
  • Rückwärtsdifferenzen
  • räumliche Ableitung zum Zeitpunkt n+1 auswerten
  • Gleichungssystem muss für jeden Zeitschritt gelöst werden
  • 1. Ordnung genau
  • unbeschränkt stabil, zwei Stützstellen
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Vorteile Zentraler Differenzen
haben eine höhere Genauigkeitsordnung als einseitige Differenzen mit derselben Anzahl an Funktionswerten
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Hauptsatz der Variationsrechnung
garantiert, dass die Lösung der starken Formulierung, sofern sie existiert, der Lösung der schwachen Formulierung entspricht
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Schwache Formulierung aufstellen

1. Multiplikation mit der Testfunktion
2. Integration über das Rechengebiet
3. Äquivalenz zur starken Form
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Interpolationsfunktion


Darstellung:
  • stückweise linear
  • stückweise quadratisch
  • stückweise linear (unstetig)
  • stückweise konstant
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Galerkin-Methode
Gemäß der Galerkin Methode werden die Testfunktionen gleich den Interpolationsfunktionen gesetzt:



Die Testfunktionen sorgen dafür, dass wir in unserem
Gleichungssystem genügend Gleichungen zur Verfügung haben.

  • Qualität der Approximation hängt von Basis- und Testfunktion ab
  • Bei Dirichlet-RB treten keine Randterme auf, da und


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Finite Volumen
  • Lösung basiert auf dem Erhaltungssatz
  • erster Term des Erhaltungssatzes entspricht dem Volumenintegral
  • Berechnung der Flüsse über die Volumenränder entspricht den zweiten und dritten Termen im Erhaltungssatz (Flüsse werden mit FD rekonstruiert)
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Vereinfachung des Volumenintegrals
Vereinfachung zeitlicher Term: Volumenmittelung


Approx. der Fluss-Terme:
  • über die Volumenränder
  • Mittelung an den Rändern
  • Upwinding
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Explizite vs. implizite Methoden
  • Explizite Methoden sind einfacher, aber nur bedingt stabil
  • Beschränkung der Zeitschrittweite für Euler-Vorwärts Diskretisierung
  • Von Neumann Zahl r beschränkt die Ausbreitung in einem Zeitschritt!
  • Implizite Methoden stabil, aber erfordern die Lösung eines Matrix-Systems
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Besetzungsstrukturen
  • Diagonalmatrix
  • Tridiagonalmatrix
  • dünnbesetzte Matrix
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Randbedingungen
Dirichlet-RB: geben Werte der Variablen am Rand des betrachteten Gebiets vor (Werte der Knoten am Rand)
Neumann-RB: geben Werte der Ableitungen der Variable am Rand des betrachteten Gebiets vor (Flüsse)
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FD, FE, FV am Beispiel der 2D-Wärmeleitung
FD: Rückwärts-Euler produziert penta-diagonales System

FE:  Interpolation auf Dreiecks- oder Viereckselementen

FV:  Flüsse werden über Kanten um die Knoten herum berechnet
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Gittertypen
Strukturierte Gitter:
  • Regelmäßige Konnektivität: Anzahl benachbarter Knoten konstant
  • In 2D ist der zugehörige Elementtyp ein Rechteck
  • weniger Speicherbedarf
  • Zelldichte schwer anpassbar
  • für einfache Gebiete leicht zu erzeugen

Unstrukturierte Gitter: (Verwendung in Realität)
  • Unregelmäßige Konnektivität: Anzahl benachbarter Knoten variabel
  • In 2D ist der zugehörige Elementtyp z.B. ein Dreieck
  • höherer Speicherbedarf
  • Zelldichte leicht anpassbar
  • gleicher Generierungsaufwand, unabhängig vom Gebiet (automatisch)
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Massenmatrix


Die Massenmatrix wird assembliert.
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Elementweise Berechnung der Systemmatrix
Assemblierung: In der FE-Methode werden Matrizen elementweise berechnet und dann zur globalen Systemmatrix zusammengesetzt

  • Auswertung der Elementmatrix durch numerische Integration (Gauß-Quadratur)


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isoparametrische Prinzip
  • Transformation von lokalen in globale Koordinaten
  • Die Geometrie wird mit denselben Interpolationsfunktionen interpoliert, wie die gesuchte Funktion
  • Determinante der Jacobi-Matrix der Transformation lässt sich aus der isoparametrischen Abbildung berechnen
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Lineare Referenzelemente
Interpolationsfunktion:
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Finite-Elemente-Methode
  • Das Problem wird in die schwache Form umformuliert
  • Generierung des Rechengitters
  • Definition der Interpolationsfunktionen
  • elementweise Berechnung von Matrizen: Galerkin, Hutfunktion (Interpolationsfunktion)
  • Transformation der Integrationsgebiete auf Referenzgebiete
  • Assemblierung der Elementmatrizen zur globalen Matrix
  • numerische Integration mittels Gaußquadratur
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Voraussetzungen für die Anwendung der FDM, FEM, FVM
  • Anfangs- und Randbedingungen: Dirichlet, Neumann
  • gegebener Zeitpunkt
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Fehlerarten
Modellierungsfehler:
mathematisches Modell nicht angemessen bzw. zu stark vereinfacht,  falsche Annahmen oder ein falsches Modell

Interpolationsfehler:
  • numerische Lösung auf kleine Menge zulässiger Lösungen beschränkt, unzureichende Gitterauflösung
  • Differenz zwischen der exakten Lösung und ihrer
  • Interpolante

Diskretisierungsfehler:
  • Diskretisierung (FD, FE, FV) kann größere Fehler als den Interpolationsfehler einführen, enthält den Interpolationsfehler
  • Diskretisierungsfehler e ist die Differenz zwischen der exakten
  • Lösung und der diskreten Lösung

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Beispiele für Modellierungsfehler
  • Nutzung eines 2D- anstatt eines 3D-Modells
  • Modellierung einer inkompressiblen Strömung mit einem Modell für kompressible Strömungen
  • Berechnung der Strömung um einen starren statt um einen elastischen Flügels
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Interpolationsfehler
  • Die Interpolante kann als die beste diskrete Lösung betrachtet werden
  • Per Definition ist der Interpolationsfehler an den Knoten Null
  • Abhängig von der Gitterschrittweite (je kleiner, desto geringer wird der Interpolationsfehler), Ordnung der Interpolation (höher = besser) (gilt auch für Diskretisierungsfehler)
  • Interpolante aus Ansatzfunktionen: stückweise linear, stückweise quadratisch, unstetig stückweise linear, stückweise konstant


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Konvergenz
diskrete Lösung nähert sich analytischer Lösung mit

Satz von Lax: Konsistenz und Stabilität bedeuten Konvergenz!
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Konsistenz
  • Wird die analytische Lösung der Differentialgleichung an den Gitterpunkten ausgewertet und in das diskrete Verfahren eingesetzt, ist die diskrete Gleichung oft nicht
  • erfüllt
  • konsistent, wenn diese Abweichung in einer Grenzwertanalyse verschwindet
  • diskreter Operator nähert sich mit






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Stabilität
der Diskretisierungsfehler wird nicht amplifiziert
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Stabilitätsbedingung

(von-Neumann-Zahl)
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Upwinding
  • Verwendung der Rückwärts-Differenzen wird Upwinding genannt: die Ableitung wird nur mit Hilfe der Nachbarwerte stromauf im Sinne der Advektions-Richtung berechnet
  • Upwinding fügt dem diskreten System, welches unter den Effekten von negativer numerischer Diffusion leidet, künstliche Diffusion hinzu
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Herausforderungen von Advektion
  • Advektion stellt eine Herausforderung für numerische Methoden dar
  • zentrale Differenzen führen negative numerische Diffusion ein;
  • numerische Lösung zeigt unphysikalische Oszillationen
  • Upwinding fügt zu viel künstliche Diffusion hinzu; numerische Lösung zeigt nun unphysikalische Verschmierung
  • Optimale Upwinding notwendig bei FD, FE und FV
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Wärmeleitungsgleichung
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Zweite Ableitung der Wärmeleitungsgleichung
  • die Änderungsrate von T an einem beliebigen Punkt im Stab ist proportional zur zweiten Ortsableitung von T
  • Die Proportionalitätskonstante ist eine physikalische Materialeigenschaft und heißt Temperaturleitfähigkeit
  • gibt an, wie schnell sich Temperaturänderungen im Stab ausbreiten
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Ansatzfunktionen
  • Interpolationsfunktionen werden im Finite-Elemente-Kontext als Ansatzfunktionen bezeichnet
  • z.B. Hutfunktion, Galerkin
  • je höher die Ordnung, desto genauer die Lösung
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Hutfunktion
Interpolationsfunktion auf 1D Gitter
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Warum löst man pDGL über Diskretisierung?
Analytische Lösung oft nicht bekannt, numerische Lösung kann angenähert werden
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Kontrollvolumen

o: Knoten/ Stützstellen x: Lage der Unbekannten

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Advektionsprobleme
unphysikalische Oszillationen
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Stabiler Fehler
  • basiert auf Fourier
  • Notwendige Bedingung:
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Advektions-Diffusions-Gleichung


a: Advektionsgeschwindigkeit
: Wärmeleitfähigkeit
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Finite Elemente anhand einer Zeichnung (Strichmännchen, Tisch)
Vorgehen:
1. System (Gleichungen) aufstellen
2. Randbedingungen einsetzen (Dirichlet, Neumann)
3. Passendes Gitter wählen
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Author: CoboCards-User
Main topic: Simulationstechnik RWTH
Topic: CATS
Published: 25.05.2018
 
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