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Für endliche URe gilt

Für Basis

!!!

Der Abstand weier Unterräume ist definiert als


für

es ist

von Ist genau dann, wenn gilt

orthogonal zu .

Sind Untervektorräume von mit orthogonal zu , so ist die Summe von und schon die direkte.

Zu einem Untervektorraum eines Vektorraumes existiert ein orthogonales Komplement.

Die projektion ist eine Abbildung . Es ist und orthogonal zu .


Wenn ON-Basis von .

Dann ist die orth. Projektions eine Vektors auf den Unterraum nach Lemma 3.22

Ein Prähilbertraum ist einfach ein reeler oder komplexer Vektorraum mit Skalarprodukt.

Ist der Raum vollständig, so ist er schon ein Hilbertraum.

Ein vollständiger Vektorraum mit Skalarprodukt.

Falls linear. Basis von , Basis von .

Dann ist

Beachte das Zeilenrang = Spaltenrang.

Also folgt auch:

Ist symmetrische Bilinearform

Praktisch gesehen ist die algebraische Vielfachheit die Vielfachheiten der Nullstellen des charakteristischen Polynom.

Prinzipiell ist die algebraische Vielfachheit die Dimension der Eigenraumes zu einem Eigenwert.

Es gilt stets: Geometrische Vielfachheit algebraische Vielfachheit.

Regel von Sarrus

Für eine -Matrix gilt die Formel:

1.1 Sei also . Ein UR von heißt f-invariant, wenn gilt .

1.2 Bemerkungen_ sind stets f-invariant.
Ist f-invariant, so ist dies ein erster Schritt zu einer "einfachen" Matrixdarstellung von . Sei Basis von , ergänze zu Basis von . Bzgl. dieser Basis hat eine Matrix

1.3 Lemma: Seine vertauschbar, d.h. . Dann sind f-invariante URe. Inbesondere sind alle Eigenräume von f-invariant.

(Natürlich ohne Einschränkungen: Also alle Eigenräume von sind g-invariant.

heißt nilpotent, falls .

Das kleinste solche heißt der Nilpotenzindex von . Analog für quadratische Matrix.

1.5 Beispiel: Sind also quadratische Matrizen und dazu ähnlich also , so:
nilpotent nilpotent.

(Denn: Sind ähnlich, ex. mit . Dann ist .

Mit Satz 1.6: ist nilpotent zu einer Matrix mit oberer Dreiecksgestallt mit nur Nullen auf der Diagonalen.

1.7 Korollar in nilpotent .


1.8 Lemma stop

a. Es gibt eine Zahl mit , so dass gilt:
(1)...

1.9 Korollar (aus 1.8)


Setze ,
.
(a) und sind f-invariant
(b)
(c) hat char. Pol. und ist kein EW von

dann

für

der Hauptraum (oder verallgemeinerte Eigenraum) von zum Wert . Dies ist ein f-invarianter UR von mit einem f-invarianten Komplement (nämlich dem aus 1.9)

1.11 Satz

, es zerfalle in Linearfaktoren (, paarweise verschieden).

(a)
(b)
(c) ist f-invariant und ist nilpotent.


Beweise (b),(c) siehe 1.9
(a) folgt aus Lemme 1.12

Für und Eigenwert von ist die gemometrische Vielfachheit

Die geometrische Vielfachheit ist dagegen definiert als Dimension des Eigenraums

Insbesondere gilt . Denn

Lemma 1.8 sagt:

Falls so existiert eine Zahl mit mit

(a)

(b)

Erinnerung:

zerfalle in Linearfaktoren diagonalisierbar, nilpotent mit und .

Sei und .

Das Char. Pol. ist

Ein Endomorphismus ist eine lineare Abbildung, ein Homomorhpismus von einem Vektorraum in sich selbst.

Also für ein -Vektorraum.

Ist dazu ein Isomorphismus, so nennt man einen Automorphismus.

Die Menge aller Homomorphismen von in ist ein Gruppe i.Z. .

Der Eigenraum ist der durch die Eigenvektoren eines Endomorhpismus aufgespannte Untervektorraum.

Ist eine Matrix diagonalisierbar, existiert eine Diagonalmatrix für die die Ähnlichkeitsbedingung erfüllt ist:

   


Äquivalent: (Vielleicht selbst zu zeigen!?)

Dies ist genau dann wenn: (a) char. Pol. vollständig in Linearfaktoren zerfällt und (b) für alle also Eigenwerte von .

1. Reflexivität: Das betrachtete Ding ist relativ zu sich selbst, also zu
2. Symmetrie: Wenn das Ding zu relativ ist, so ist auch relativ zu
3. Transitivität: Wenn das Ding zu relativ ist und das Ding relativ zu ist, dann ist das Ding auch relativ zu


Vorsicht
Es gilt nicht: aus 2. und 3. folgt 1.
Also FALSCH ist weil Symmetrisch ist und dann ist also also ist auch reflexiv und deshalb Äquivalenzrelation.

ist nicht ausgeartet, falls eine der Bedingungen gilt:


!!
für eine (d.h. für jede) Basis von ist

kongruent modulo .

bedeutet .

Also der Rest von ist gleich dem Rest von .

.

Antwort:

Bei einem Polynom ist von bzw. von das sog. "Absolutglied".

Bei einem Polynom wird von bzw. von heißt "Lineares Glied".

In einem Polynom heißt von bzw. von das "Quadratische Glied"

In einem Polynom heißt von bzw. von das "Kubische Glied"

Das Nullelement ist die Nebenklasse .

(Satz über die Anzalh der Elemente eines endlichen Vektorraumes.)

Ein n-dimensionaler -Vektorraum über dem endlichen, k-elementigen Körper hat genau .

Nebenklassen sind immer abhängig von dem jeweiligen Untervektorraum .
Grundsätzlich macht diese Frage nur sinn, wenn eine endliche Menge betrachtet wird. Irgendeine Anzahl an Elementen wird dann ja haben, wenn es endlich. Diese Zahl nennen wir einfach .
selbst ist zu sich ist eine Nebenklasse, nämlich die Nebenklasse .

Diese Nebenklasse hat die gleiche Anzahl an Element wie natürlich. Also genau . (Nach dem Satz über die Anzahl von Elementen eins Vektoraumes)

Wann könnte jetzt auf die Idee kommen, zu vermuten, dass auch jede äquivalente Nebenklasse gleichviele Elemente wie hat, und man könnte im ersten Versuch mal versuchen ein Bijektive Abbildung zwischen und zu konstruieren. Klappt das, so ist klar, dass und gleichmächtig sein müssen.

Das klappt mit . Denn die Surjektivitöt folgt aus der Definition der Nebenklasse und die Injetivität ist einfach mit .

P ist definiert als

Die Spaltenvektoren von A sind die Bilder der Basisverktoren.

f ist injektiv gdw. ker(f)=0

unendliche Folge mit endlich vielen von Null verschiedenen Elementen


Das -te Glied von errechnet sich wie folgt: