Wie kann die Existenz der erschöpfenden Statistik für das Rasch-Modell gezeigt/bewiesen werden?
Die Existenz der erschöpfenden Statistiken kann anhand der Likelihood der Daten gezeigt werden.
Die Likelihood der Daten ist die Wahrscheinlichkeit, EXAKT die erhobenen Daten zu erhalten.
Likelihood ist nur noch von den Randsummen (Anzahl der gelösten Items einer Person und Anzahl wie oft ein Item gelöst wurdE) abhängig und nicht von den konkreten Antworten einer Person.
Die Likelihood der Daten ist die Wahrscheinlichkeit, EXAKT die erhobenen Daten zu erhalten.
Likelihood ist nur noch von den Randsummen (Anzahl der gelösten Items einer Person und Anzahl wie oft ein Item gelöst wurdE) abhängig und nicht von den konkreten Antworten einer Person.
Tags: Existenz der erschöpfenden Statistik, IRT, Likelihood, Rasch-Modell
Quelle: F261
Quelle: F261
Wie ist die Vorgehensweise beim Likelihood um die Existenz der erschöpfenden Statistik zu zeigen?
Die Existenz der erschöpfenden Statistiken kann anhand der Likelihood der Daten gezeigt werden. Die Likelihood der Daten ist die Wahrscheinlichkeit, EXAKT die erhobenen Daten zu erhalten.
Wie sehen diese Daten im Modell von Rasch aus?
Tabelle: Person 1 hat Item 1 falsch beantwortet (0) und Item 2 richtig beantwortet (1), etc.
Gehen wir nun davon aus, wir können die Antwort, die eine
Person v auf ein Item i gegeben hat, in eine
Wahrscheinlichkeit umwandeln, mit der Person v die
gegebene Antwort auf Item i gibt. Dadurch erhalten wir:
Jetzt muss für jede Person und Item berechnet werden wie wahrscheinlich es ist, dass diese Person genau dieses Item löst/nicht löst = Antwortmuster einer Person
Geht man weiters davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit der
Lösung von Item i durch Person v unabhängig davon ist,
welche und wie viele Items Person v zuvor gelöst hat (=lokal
stochastische Unabhängigkeit), so kann die
Wahrscheinlichkeit, dass Person v ihr Antwortmuster zeigt,
berechnet werde durch:
(nicht stochastische Unabhängigkeit wenn aufeinander aufbauende Aufgaben oder eine Person lernt zwischen den Aufgaben (z.B. durch Rückmeldung über Ergebnis))
Geht man nun noch davon aus, dass die von den Personen
erzielten Antwortmuster unabhängig sind, so ist die
Wahrscheinlichkeit die gegebenen Daten zu erhalten
(=Likelihood der Daten) gegeben durch:
Sind die Daten voneinander unabhängig? Ja, wenn sie nicht voneinander abschauen (ev. auch problematisch bei mündl. Prüfungen, Partnerarbeiten, Online-Testungen, Person füllt Test mehrfach aus)
Je nach Variante muss die entsprechende Variante gewählt werden – entweder der 1. Term oder der 2. Term. Dies wird automatisch erreicht durch avj bzw. 1-avj …. Da bei richtigen Antworten mit 1 kodiert werden erhält man beim 1. Term bei einer richtigen Antwort den Term hoch 1 und dem 2. Term mit hoch 0 und so wird bei einer richtigen Antwort z.B. nur der 1. Term verwendet.
In der Formel kommt v und i nicht weiter vor – d.h. für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit genau diese konkrete Daten zu erhalten (Likelihood) muss nicht die konkrete Antwort der Person gewusst werden = Beweis für die Existenz der erschöpfenden Statistik.
Wie sehen diese Daten im Modell von Rasch aus?
Tabelle: Person 1 hat Item 1 falsch beantwortet (0) und Item 2 richtig beantwortet (1), etc.
Gehen wir nun davon aus, wir können die Antwort, die eine
Person v auf ein Item i gegeben hat, in eine
Wahrscheinlichkeit umwandeln, mit der Person v die
gegebene Antwort auf Item i gibt. Dadurch erhalten wir:
Jetzt muss für jede Person und Item berechnet werden wie wahrscheinlich es ist, dass diese Person genau dieses Item löst/nicht löst = Antwortmuster einer Person
Geht man weiters davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit der
Lösung von Item i durch Person v unabhängig davon ist,
welche und wie viele Items Person v zuvor gelöst hat (=lokal
stochastische Unabhängigkeit), so kann die
Wahrscheinlichkeit, dass Person v ihr Antwortmuster zeigt,
berechnet werde durch:
(nicht stochastische Unabhängigkeit wenn aufeinander aufbauende Aufgaben oder eine Person lernt zwischen den Aufgaben (z.B. durch Rückmeldung über Ergebnis))
Geht man nun noch davon aus, dass die von den Personen
erzielten Antwortmuster unabhängig sind, so ist die
Wahrscheinlichkeit die gegebenen Daten zu erhalten
(=Likelihood der Daten) gegeben durch:
Sind die Daten voneinander unabhängig? Ja, wenn sie nicht voneinander abschauen (ev. auch problematisch bei mündl. Prüfungen, Partnerarbeiten, Online-Testungen, Person füllt Test mehrfach aus)
Je nach Variante muss die entsprechende Variante gewählt werden – entweder der 1. Term oder der 2. Term. Dies wird automatisch erreicht durch avj bzw. 1-avj …. Da bei richtigen Antworten mit 1 kodiert werden erhält man beim 1. Term bei einer richtigen Antwort den Term hoch 1 und dem 2. Term mit hoch 0 und so wird bei einer richtigen Antwort z.B. nur der 1. Term verwendet.
In der Formel kommt v und i nicht weiter vor – d.h. für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit genau diese konkrete Daten zu erhalten (Likelihood) muss nicht die konkrete Antwort der Person gewusst werden = Beweis für die Existenz der erschöpfenden Statistik.
Tags: Existenz der erschöpfenden Statistik, IRT, Likelihood, Rasch-Modell
Quelle: F261
Quelle: F261
Wie ergibt sich die Likelihood-Formel hinsichtlich der Berechnung der Lösungswahrscheinlichkeit für richtige und falsche Antworten?
(Anm: muss vermutlich nicht so im Detail gewusst werden)
Im dichotom logistischen Modell von Rasch können Personen zwei unterschiedliche Antworten geben.
Entweder sie antworten korrekt (1) oder nicht (0). Die Wahrscheinlichkeiten hierfür sind:
Je nach gegebener Antwort, muss die entsprechende Variante gewählt werden. Dies wird erreicht durch
Je nach Variante muss die entsprechende Variante gewählt werden – entweder der 1. Term oder der 2. Term. Dies wird automatisch erreicht durch avj bzw. 1-avj …. Da bei richtigen Antworten mit 1 kodiert werden erhält man beim 1. Term bei einer richtigen Antwort den Term hoch 1 und dem 2. Term mit hoch 0 und so wird bei einer richtigen Antwort z.B. nur der 1. Term verwendet.
Demnach wird allen Personen, die einem Test mit den selben Items dieselbe Anzahl gelöster Aufgaben erzielen, derselbe Fähigkeitsparameter zugeordnet.
Die Erkenntnis, dass die erschöpfenden Statistiken nur gelten, wenn die Items den Anforderungen des Modells von Rasch (RM) entsprechen, hat weitreichende Konsequenzen.
U.a. bedeutet es, dass die im Rahmen der klassischen Testtheorie vorgenommene Summenbildung zur Gewinnung eines Rohscores nur fair ist, wenn die Items dem RM entsprechen.
Im dichotom logistischen Modell von Rasch können Personen zwei unterschiedliche Antworten geben.
Entweder sie antworten korrekt (1) oder nicht (0). Die Wahrscheinlichkeiten hierfür sind:
Je nach gegebener Antwort, muss die entsprechende Variante gewählt werden. Dies wird erreicht durch
Je nach Variante muss die entsprechende Variante gewählt werden – entweder der 1. Term oder der 2. Term. Dies wird automatisch erreicht durch avj bzw. 1-avj …. Da bei richtigen Antworten mit 1 kodiert werden erhält man beim 1. Term bei einer richtigen Antwort den Term hoch 1 und dem 2. Term mit hoch 0 und so wird bei einer richtigen Antwort z.B. nur der 1. Term verwendet.
- Rohscore von Person v: Wieviele Items hat die Person gelöst?
- Absolute Lösungshäufigkeit von Item i: Wie oft wurde dieses Item gelöst?
- In der Formel kommt v und i nicht weiter vor – d.h. für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit genau diese konkrete Antwort zu erhalten (Likelihood) muss nicht die konkrete Antwort der Person gewusst werden = Beweis für die Existenz der erschöpfenden Statistik.
Demnach wird allen Personen, die einem Test mit den selben Items dieselbe Anzahl gelöster Aufgaben erzielen, derselbe Fähigkeitsparameter zugeordnet.
Die Erkenntnis, dass die erschöpfenden Statistiken nur gelten, wenn die Items den Anforderungen des Modells von Rasch (RM) entsprechen, hat weitreichende Konsequenzen.
U.a. bedeutet es, dass die im Rahmen der klassischen Testtheorie vorgenommene Summenbildung zur Gewinnung eines Rohscores nur fair ist, wenn die Items dem RM entsprechen.
Tags: Existenz der erschöpfenden Statistik, IRT, Likelihood, Rasch-Modell
Quelle: F265
Quelle: F265
Was bedeutet es wenn die Existenz der erschöpfenden Statistik durch das Likelihood der Daten bewiesen wurde?
- Rohscore von Person v: Wieviele Items hat die Person gelöst?
- Absolute Lösungshäufigkeit von Item i: Wie oft wurde dieses Item gelöst?
- In der Formel kommt v und i nicht weiter vor – d.h. für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit genau diese konkrete Antwort zu erhalten (Likelihood) muss nicht die konkrete Antwort der Person gewusst werden = Beweis für die Existenz der erschöpfenden Statistik.
Demnach wird allen Personen, die einem Test mit den selben Items dieselbe Anzahl gelöster Aufgaben erzielen, derselbe Fähigkeitsparameter zugeordnet.
Die Erkenntnis, dass die erschöpfenden Statistiken nur gelten, wenn die Items den Anforderungen des Modells von Rasch (RM) entsprechen, hat weitreichende Konsequenzen.
U.a. bedeutet es, dass die im Rahmen der klassischen Testtheorie vorgenommene Summenbildung zur Gewinnung eines Rohscores nur fair ist, wenn die Items dem RM entsprechen.
Die Existenz der erschöpfenden Statistik zeigt die Fairness des Rasch-Modells, d.h. es kommt nicht darauf an welche Items gelöst wurden, sondern nur wie viele Aufgaben gelöst wurden.
Tags: Existenz der erschöpfenden Statistik, Likelihood, Rasch-Modell
Quelle: F268
Quelle: F268
Kartensatzinfo:
Autor: coster
Oberthema: Psychologie
Thema: Testtheorie
Schule / Uni: Universität Wien
Ort: Wien
Veröffentlicht: 12.06.2013
Schlagwörter Karten:
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