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Sei  .
Eine Abbildung heißt Metrik oder Abstand, falls für alle gilt:

1.
    positive Definitheit
2.
    Symmetrie
3.
    Dreiecksungleichung

heißt dann metrischer Raum.

Eine Folge heißt konvergent gegen  
, wenn für alle ein

                       

für alle

Folgerung



Bemerkung
Konvergenz im ist äquivalent zur koordinatenweise Konvergenz.

Sei ein metrischer Raum, .
Ein Punkt heißt:

innerer Punkt von , wenn für ein

äußerer Punkt von , wenn für ein

Randpunkt von , wenn und
für alle

Häufungspunkt  von , wenn für alle

isolierter Punkt   von , wenn für ein . ist kein Häufungspunkt.
(z.B. für ist jedes ein isolierter
Punkt von )

Das Innere ist die Menge aller inneren Punkte von M.
Das Äußere ist die Menge aller äußeren Punkte von M.
Der Rand ist die Menge aller Randpunkte von M.

ist Häufungspunkt von M:

heißt Abschluss oder abgschlossene Hülle von .

Beispiel

Die Menge heißt:

offen                  wenn
abgeschlossen  wenn
dicht in ,           wenn
beschränkt,        wenn

Beispiel
Für eine dichte Menge:
, d.h. liegt dicht in

ist offen Mit jedem liegt auch in für ein .

sind offene Mengen.

Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist wieder offen.

Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist wieder offen.
(Der Durchschnitt unendlich vieler Mengen ist aber nicht offen)

ist abgeschlossen Jeder Häufungspunkt von gehört zu .

ist abgschlossen genau dann, wenn offen ist.

sind abgeschlossen

Der Durchschnitt beliebig vieler abgeschlossener Mengen ist wieder abgeschlossen. Die Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen ist wieder abgeschlossen.

Sei ein metrischer Raum. Dann heißt Cauchy-Folge oder Fundamentalfolge, falls für jedes ein existiert mit für alle .

Folgerung
1. Jede konvergente Folge aus ist eine Cauchy-Folge.
2. Jede Cachy-Folge ist beschränkt.

heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge aus gegen einen Grenzwert in X konvergiert.

Ein vollständiger normierter Raum heißt auch Banachraum.

Folgerung
und sind vollständig, d.h. sie sind Banachräume bzgl. jeder Norm.

Der unendlichdimensionale normierte Raum ist vollständig bezüglich

(Maximum- bzw. Supremumnorm auf .

Bemerkungen
1. Bezüglich der durch das Skalarprodukt

bestimmten Norm ist nicht vollständig.

2. Konvergenz bezüglich des Maximum heißt auch gleichmäßige Konvergenz der Funktionenfolge im Gegensatz zur punktweisen Konvergenz der Funktionenfolge von

für jedes .

Die Menge heißt (folgen-)kompakt, wenn jede Folge aus eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in besitzt.

Jede kompakte Menge ist beschränkt und abgeschlossen bezüglich der Metrik von

Jede beschränkte Menge des besitzt einen Häufungspunkt.

Im und ist die Kompaktheit von äquivalent zur Beschränktheit. In allgemeinen metrischen Räumen folgt aus Beschränktheit und Abgeschlossenheit nicht die Kompaktheit der Menge.

Sei gleichmäßig konvergent gegen f, so ist .

Sei gleichmäßig konvergent gegen und
für .
Dann gilt: konvergiert gleichmäßig gegen F und

(genau dann, wenn ).

Sei und gleichmäßig konvergent gegen und
für ein .
Dann konvergiert gleichmäßig gegen ,
wobei .

Die Funktionenreihe

heißt gleichmäßig konvergent gegen , wenn die Funktionenfolge

gleichmäßig gegen konvergiert
().

Majorantenkriterium
Wenn für alle gilt und

konvergiert, dann ist

gleichmäßig konvergent auf .

Konvegiert die Fourierreihe für alle , so auch für alle

heißt stetig in ,
falls für jede Folge mit

gilt:
.
(Äquivalent zum reeler Funktionen)

heißt stetig auf , falls stetig in allen ist.


Eine bijektive Abbildung heißt Homöomophismus, falls und stetig sind.

Die Hintereinanderausführung stetiger Funktionen ist wieder stetig.

ist genau dann zusammenhängend, wenn für alle ein existiert mit und für alle .

Eine nichtleere, offene und zusammenhängende Menge heißt Gebiet.

Sei und eine zusammenhängende Menge. Dann ist auch zusammenhängend.

Sei ein metrischer Raum und .
Gilt mit einer Konstanten :


so heißt eine Kontraktion oder kontraktive Selbstabbildung auf X.
q heißt Kontraktionskonstante von .

Jeder Kontraktion ist stetig.

heißt Fixpunkt von , wenn gilt:
für und

Sei ein vollständig metrischer Raum und eine Kontraktion auf .
Dann besitzt in genau einen Fixpunkt .
Dieser ergibt sich durch sukzessive Approximationen:

mit beliebigem Startpunkt .

Bemerkung
Der Fixpunktsatz gilt auch, wenn ersetzt wird durch ein abgeschlossenes .

Das Newton-Verfahren dient der angenäherten Berechnung einer Lösung von für reelle Funktionen .



Geometrische Deutung
ensteht durch Schnittpunkt einer Tangente an einem beliebigen Punkt mit der x-Achse.
Tangente:

sei ein Gebiet.
ist reellwertige oder skalare Funktion.
Dann definiert man die partielle Ableitung von in :


für (1 an der i-ten Stelle).

Geometrische Deutung
liefert den Anstieg der Fläche y = f(x) in -Richtung und damit den Anstieg der Tangentialebene T.

Sind alle partiellen Ableitungen 2. Ordnung für in vorhanden und in stetig, so gilt:



für

Verallgemeinerung
Für sind die partiellen Ableitungen bis Ordnung unabhängig von der Differentiationsreihenfolge.

und falls in differenzierbar.

Sei und ein Gebiet des .
Dann heißt (total) differenzierbar in , falls




mit einem Vektor und

Wir nennen Ableitung von in .

Folgerung
(1) Ist (total) differenzierbar in , so ist auch stetig in .
(2) Ist in (total) differenziebar, dann auch partiell.
(3) Ist , so ist (total) differenzierbar in .

Dann ist differenzierbar in , falls jede Koordinatenfunktion differenzierbar in ist.

ist genau dann in differenziebar, falls es eine lineare Abbildung

gibt mit


heißt Ableitung von in
Jacobi Matrix

Ein Vektorfeld auf ist eine Abbildung

      

Speziell heißt ein -Vektorfeld auf , falls .

Integrabilitätsbedingungen
(1) Zwei Stammfunktionen zum Vektorfeld auf einem Gebiet unterscheiden sich nur durch eine Konstante.
(2) Dem Vektorfeld kann eine Differentialform zugeordnet werden:

ist exakt wenn gilt:

(3) Integrabilitätsbedingung

Eigenschaften
(1) Das Vektorprodukt ist linear in jedem Faktor.
(2) Das Vekotorprodkt ist schiefsymmetrisch:
(3)

sind Zeilenvektoren.

Gradient


Punkte mit heißen stationäre oder kritische Punkte.

Divergenz


Ist , so heißt das Vektorfeld quellenfrei.

Rotation


Ist , so heißt das Vektorfeld wirbelfrei.

Sei sei ein Gebiet
.
Dann existiert ein :

Notwendige Bedingung
Hat in ein lokales Minimum, so gilt

und



Hinreichende Bedinung
Gilt in und ist dann hat in ein lokales Minimum.

ist positiv definit
Alle Eigenwerte von sind positiv
Alle Hauptminoren der Matrix sind positiv (Determinante > 0)

Falls exisiert, so ist Fixpunkt der Abbildung mit .

Sei .
Für ein gelte
sowie die Auflösebedinung
.
Dann gibt es und , so dass genau eine stetige Funktion
existiert mit und .

Seien Gebiete.
Eine Abbildung heißt Diffeomorphismus, wenn bijektiv ist und differenzierbar sind.
heißt -Diffeomorphismus, falls -Abbildungen sind.
Man nennt einen lokalen Diffeomorphismus falls es zu jedem offene Mengen gibt, so dass die Einschränkung von auf ein Diffeomorphismus von auf ist.

Die Lösungsmenge

heißt Lösungsmannigfaltigkeit, falls

maximalen Rang hat

hat die Dimension

Die Niveaumenge hat die Dimension 1

Sei positiv und stetig auf sowie monoton fallend.
Dann ist das Konvergenzverhalten von

und

gleich ()

Sei ein offenes oder halboffenes Intervall. Dann heißt auf absolut integrierbar, falls

konvergiert oder auf (uneigentlich) Riemann-integrierbar ist.

Aus absoluter Konvergenz folgt Konvergenz.

ist absolut integrierbar genau dann, wenn eine der beiden folgenden Bedingungen erfüllt ist:
1.Beschränktheitskriterium



2. Majorantenkriterium
Es existiert eine positive Funktion mit

für alle und

konvergiert.

Sei
Existiert

für alle , so heißt Parametrintegral.

1. Ist , so existiert für jedes und ist stetig.
2. Sind
,
so ist und

Sei ein Intervall und ein Gebiet.
Dann heißt Kurve oder Weg, falls es eine stetige Abbildung

gibt mit .
Man nennt eine -Kurve, falls

und reguläre Kurve, falls der Tangentenvektor

für alle .
heißt Parametrisierung von .

Ist gegeben durch
,
so heißt

Länge der Kurve .

Bemerkung
Ist die Kurve durch eine Funktion gegeben, so wählt man die Parametrisierung
.

Zwei -Parametrisierungen von
sind Intervalle, heißen äquivalent, wenn es einen -Diffeomorphismus gibt, das heißt .
heißt Parametertransformation von .

Sei ein Vektorfeld auf und eine reguläre -Kurve mit Parametrisierung, so ist


ist vektorielles Bogenelement von .

Das Vektorfeld auf heißt konservativ in , wenn

wegunaghängig ist für jede reguläre -Kurve , das heißt wenn
nur von den Endpunkten von abhängt und nicht von deren Verlauf.

Ein Vektorfeld ist konservativ in genau dann, wenn ein Potentialfeld in ist

heißt sternförmiges Gebiet, wenn es ein Zentrum gibt, so dass für jedes die Verbindungsgerade vollständig in verläuft.

Ist ein strnförmiges Gebiet und sind in die Integrabilitätsbedingungen erfüllt, so besitzt das -Vektorfeld ein Potential in ganz .

1. Ist , so gilt



2. Ist so gilt:

bez. der x-Achse
  heißt Normalbereich bezüglich er x-Achse, wenn

mit kompakt.

bez. der y-Achse
  heißt Normalbereich bezüglich er y-Achse, wenn

mit kompakt.

Seien Gebiete und ein -Diffeomorphismus.
Dann gilt für jedes beschränkte mit die Formel

für

Sei ein Normalbereich beider Achsen und ein Gebiet sowie .
Dann gilt für positive Orientierung von :